Сопряжённый линейный оператор

\begin{abstract} \textbf{Курсивное описание:} Сопряженный оператор — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе, естественным образом обобщающее операцию транспонирования матрицы на случай бесконечномерных банаховых пространств. \end{abstract}

Определение сопряженного оператора

Пусть $$E$$ и $$E_1$$ — банаховы пространства, и пусть $$A: E \rightarrow E_1$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$E^*$$ и $$E_1^*$$ сопряжённые пространства.

Определение 1. \textbf{Сопряжённым оператором} к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: E_1^* \rightarrow E^*$$, действующий по правилу: $$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } x \in E.$$$ Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

Пример в конечномерном пространстве

Пример 1. Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$: $$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$: $$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$: $$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем: $$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$$

Отсюда следует, что: $$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$$ то есть оператор $$A^*$$ задаётся \textbf{транспонированной матрицей}.

Свойства сопряженных операторов

Теорема 1. Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$

Доказательство. Следует непосредственно из определения сопряженного оператора. $$\square$$

Норма сопряженного оператора

Теорема 2. Если $$A: E \rightarrow E_1$$ — ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами, то: $$$\|A^*\| = \|A\|.$$$

Доказательство.

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$ имеем: $$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$$ Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in E_1^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда: $$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$$ Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

Связь ядра и образа

Теорема 3. Пусть $$A: E \rightarrow E_1$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$E$$ на всё $$E_1$$. Тогда: $$$(\Ker A)^\perp = \ImOp A^*.$$$

Доказательство.

1) Включение $$\ImOp A^* \subset (\Ker A)^\perp$$:

Если $$f \in \ImOp A^*$$, то существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \Ker A$$: $$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$$ Следовательно, $$f \in (\Ker A)^\perp$$.

2) Включение $$(\Ker A)^\perp \subset \ImOp A^*$$:

Пусть $$f \in (\Ker A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in E$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \ImOp A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

Пример интегрального оператора

Пример 2. Рассмотрим оператор $$A: L^2[0,1] \rightarrow L^2[0,1]$$: $$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$$ где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L^2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем: $$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$$

Отсюда получаем: $$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$$ то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

Пространство линейных операторов

Пусть $$L(X, Y)$$ — множество всех линейных непрерывных операторов, действующих из $$X$$ в $$Y$$. Введём в $$L(X, Y)$$ операции сложения и умножения на скаляр: $$(A + B)x = Ax + Bx, \quad (\lambda A)x = \lambda Ax$$.

Множество $$L(X, Y)$$ с такими операциями образует линейное пространство.

Определение нормы

Определение 1. Пусть $$X$$ — линейное пространство. Функция $$\|\cdot\|: X \to \mathbb{R}$$, определённая на $$X$$, является нормой, если выполнены аксиомы:

1. $$\forall x \in X \|x\| \geq 0$$; $$\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0$$,

2. $$\forall x \in X$$ $$\forall \lambda \in \mathbb{R}$$; $$\|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\|$$,

3. $$\forall x, y \in X$$; $$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$$.

Любая норма порождает метрику над $$X$$: $$\rho(x,y) = \|x - y\|$$.

Норма линейного оператора

Определение 2. Нормой линейного оператора $$A \in '''L'''(X, Y)$$ называется число

$$\|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|$$.

Свойства нормы оператора

Теорема 1. Функция $\|\cdot\| : \LL(X, Y) \to \mathbb{R}$ является нормой, т.е. удовлетворяет аксиомам:

1. $$\forall A \in \LL(X, Y)$$; $$\|A\| \geq 0$$; $$\|A\| = 0 \Leftrightarrow A = 0$$,

2. $$\forall A \in \LL(X, Y)$$ $$\forall \lambda \in \mathbb{R}$$; $$\|\lambda A\| = |\lambda| \cdot \|A\|$$,

3. $$\forall A, B \in \LL(X, Y)$$; $$\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$$.

Доказательство.

1) Очевидно, $$\|A\| \geq 0$$. Если $$\|A\| = 0$$, то $$\|Ax\| = 0$$ для всех $$x$$ с $$\|x\| \leq 1$$, откуда $$A = 0$$.

2) $$\|\lambda A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|\lambda Ax\| = |\lambda| \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\| = |\lambda| \cdot \|A\|$$.

3) Для любого $$x$$ с $$\|x\| \leq 1$$ имеем:

$$\|(A + B)x\| = \|Ax + Bx\| \leq \|Ax\| + \|Bx\| \leq \|A\| + \|B\|$$.

Переходя к супремуму, получаем $$\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$$. $$\square$$

Основная оценка для ограниченных операторов

Теорема 2. Если $$A$$ — ограниченный линейный оператор, то справедлива оценка

$$\|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|$$

для всех $$x \in X$$, где $$\|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|$$.

Доказательство.

При $$x = 0$$ неравенство очевидно. Пусть $$x \neq 0$$, рассмотрим $$x' = \frac{x}{\|x\|}$$. Поскольку $$\|x'\| = 1$$, то по определению нормы $$\|Ax'\| \leq \|A\|$$. Подставляя $$x'$$, получим $$\frac{\|Ax\|}{\|x\|} \leq \|A\|$$, т.е. $$\|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|$$, что и требовалось доказать. $$\square$$