Норма линейного оператора

Понятие оператора

Определение 1. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — произвольные множества. А множество $$D \subseteq X$$ выделенное подмножество в $$X$$. Если каждому элементу $$x \in D$$ ставится в соответствие определенный элемент $$y \in Y$$, то говорят что задан оператор $$y = F(x)$$. При этом множество $$D$$ называется множеством определения оператора $$F$$ и обозначается $$D(F)$$. Множество

\[ R = R(F) = \{y \in Y : y = F(x), x \in D\} \]

называется областью значений оператора $$F$$.

Для краткости будем использовать обозначение $$F: X \to Y$$, где $$D(F) = X$$ и $$R(F) = Y$$.

Линейные операторы

Определение 2. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные пространства (оба вещественные или оба комплексные). Оператор $$A: X \to Y$$ с областью определения $$D(A)$$ называется линейным, если:

1. $$D(A)$$ — линейное подпространство,

2. $$A(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) = \lambda_1 A(x_1) + \lambda_2 A(x_2)$$ для любых $$x_1, x_2 \in D(A)$$ и любых $$\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$$.

Это означает, что оператор сохраняет линейные операции - сложение и умножение на число.

Непрерывность и ограниченность

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, и линейный оператор $$A$$ задан всюду в $$X$$ т.е. $$D(A) = X$$.

Определение 3. Оператор $$A$$ называется непрерывным в точке $$x_0 \in X$$, если для любой последовательности $$\{x_k\}_{k=0}^{\infty}, x_k \in X$$, такой что $$x_k \to x_0$$ по норме $$\|\cdot\|_X$$, верно, что $$Ax_k \to Ax_0$$.

Теорема 1. Пусть линейный оператор $$A$$ непрерывен в точке $$x_0 = 0$$, тогда оператор непрерывен в любой точке $$x_0 \in X$$.

Доказательство. Если последовательность $$x_k \to x_0$$, то $$z_k = x_k - x_0 \to 0$$. Из непрерывности в нуле следует, что $$Az_k \to 0$$. Таким образом получаем, что $$Ax_k - Ax_0 \to 0$$, т.е. для любого $$x_0 \in X$$ и для любой последовательности $$x_k \to x_0$$ справедливо $$Ax_k \to Ax_0$$. Это и есть непрерывность оператора $$A$$ в любой точке множества $$X$$. $$\square$$

Данное свойство значительно упрощает анализ таких операторов.

Определение 4. Линейный оператор $$A$$ называется непрерывным, если он непрерывен в точке $$x_0 = 0$$.

Непрерывность оператора — важное свойство, которое показывает, что оператор не совершает резких скачков, т.е. близкие элементы переходят в близкие.

Определение 5. Линейный оператор $$A$$ называется ограниченным, если он ограничен на единичном шаре $$S_1(0) = \{ x \in X: \|x\|_X \leq 1 \}$$, т.е. существует $$\sup_{\|x\|_X \leq 1} \|Ax\|_Y < \infty$$.

Ограниченность оператора означает, что существует константа $$C > 0$$ такая, что для всех $$x$$ выполняется $$\|Ax\|_Y \leq C\|x\|_X$$, т.е. оператор не может увеличить норму элемента больше чем в $$C$$ раз.

Эквивалентность непрерывности и ограниченности

Теорема 2. Пусть $$A: X \to Y$$ — линейный оператор, $$X, Y$$ — банаховы пространства, $$D(A) = X$$. Для того чтобы $$A$$ был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

Доказательство.

$$\Rightarrow$$ Пусть $$A$$ непрерывен. Допустим, что $$A$$ неограничен. Тогда для любого натурального $$n$$ существует $$x_n \in X$$ с $$\|x_n\| \leq 1$$ такой, что $$\|Ax_n\| \geq n$$. Рассмотрим $$x_n' = \frac{x_n}{n}$$. Тогда $$\|x_n'\| = \frac{\|x_n\|}{n} \leq \frac{1}{n} \to 0$$ при $$n \to \infty$$. Из непрерывности оператора $$A$$ имеем $$Ax_n' \to 0$$. С другой стороны, $$\|Ax_n'\| = \frac{\|Ax_n\|}{n} \geq 1$$. Полученное противоречие доказывает необходимость.

$$\Leftarrow$$ Пусть $$A$$ ограничен. Тогда существует $$C > 0$$ такое, что $$\|Ax\| \leq C\|x\|$$ для всех $$x \in X$$. Если $$x \to 0$$, то и $$Ax \to 0$$, т.е. $$A$$ непрерывен в точке $$0$$, а значит, и всюду. $$\square$$

Пространство линейных операторов и норма

Пусть $$\mathcal{L}(X, Y)$$ — множество всех линейных непрерывных операторов, действующих из $$X$$ в $$Y$$. Введём в $$\mathcal{L}(X, Y)$$ операции сложения и умножения на скаляр: \[ (A + B)x = Ax + Bx, \quad (\lambda A)x = \lambda Ax. \] Множество $$\mathcal{L}(X, Y)$$ с такими операциями образует линейное пространство.

Напомним общее определение нормы для линейного пространства.

Определение 6. Пусть $$X$$ — линейное пространство. Функция $$\|\cdot\|: X \to \mathbb{R}$$, определённая на $$X$$, является нормой, если выполнены аксиомы:

1. $$\forall x \in X \|x\| \geq 0$$; $$\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0$$,

2. $$\forall x \in X$$ $$\forall \lambda \in \mathbb{R};$$ $$\|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\|$$,

3. $$\forall x, y \in X;$$ $$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$$.

Любая норма порождает $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Метрическое_пространство} {\text{метрику}}$$ $$d(x,y) = |x - y|$$.

Определение 7. Нормой линейного оператора $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$ называется число \[ \|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|. \]

Убедимся, что это действительно норма.

Теорема 3. Функция $$\|\cdot\| : \mathcal{L}(X, Y) \to \mathbb{R}$$ является нормой, т.е. удовлетворяет аксиомам:

1. $$\forall A \in \mathcal{L}(X, Y);$$ $$\|A\| \geq 0$$; $$\|A\| = 0 \Leftrightarrow A = 0$$,

2. $$\forall A \in \mathcal{L}(X, Y)$$ $$\forall \lambda \in \mathbb{R};$$ $$\|\lambda A\| = |\lambda| \cdot \|A\|$$,

3. $$\forall A, B \in \mathcal{L}(X, Y);$$ $$\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$$.

Доказательство.

1) Очевидно, $$\|A\| \geq 0$$. Если $$\|A\| = 0$$, то $$\|Ax\| = 0$$ для всех $$x$$ с $$\|x\| \leq 1$$, откуда $$A = 0$$.

2) $$\|\lambda A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|\lambda Ax\| = |\lambda| \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\| = |\lambda| \cdot \|A\|$$.

3) Для любого $$x$$ с $$\|x\| \leq 1$$ имеем: \[ \|(A + B)x\| = \|Ax + Bx\| \leq \|Ax\| + \|Bx\| \leq \|A\| + \|B\|. \] Переходя к супремуму, получаем $$\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$$. $$\square$$

Понятие нормы линейного оператора позволяет изучать операторы как элементы нормированных пространств, применять к ним методы математического анализа и исследовать сходимость последовательностей операторов.

Докажем еще одно полезное утверждение для ограниченного оператора.

Теорема 4. Если $$A$$ — ограниченный линейный оператор, то справедлива оценка \[ \|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\| \] для всех $$x \in X$$, где $$\|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|$$.

Доказательство.

При $$x = 0$$ неравенство очевидно. Пусть $$x \neq 0$$, будем считать $$x' = \frac{x}{\|x\|}$$. Поскольку $$\|x'\| = 1$$, то по определению нормы$$\|Ax'\| \leq \|A\|$$. После постановки $$x'$$ получим $$\frac{\|Ax\|}{\|x\|} \leq \|A\|$$ т.е. $$\|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|$$, что и требовалось доказать. $$\square$$

Список литературы

1. Точилин П.А. Лекции по курсу "Функциональный анализ", 2025.

2. Треногин В.А. "Функциональный анализ", 2002.