Интегральные уравнения Фредгольма

Определение и классификация

Определение. Интегральное уравнение Фредгольма - это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма.

Определение. Ядро интегрального оператора (ядро Фредгольма) - это функция от двух аргументов \(K(x,\;y)\), определяющая некий интегральный оператор \(\mathcal{A}\) равенством\[\varphi(y)=\mathcal{A}[\varphi(x)]=\int K(x,\;y)\varphi(x)\,d\mu(x),\] где \(x\in\mathbb{X}\) — пространство с мерой \(d\mu(x)\), а \(\varphi(x)\) принадлежит некоторому пространству функций, определённых на \(\mathbb{X}\).

Интегральные уравнения Фредгольма подразделяются на два типа:

Интегральное уравнение Фредгольма первого рода.

\(\psi(s) = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt\)

где функция \(K\) является ядром уравнения, а оператор \(A\), определяемый как \(A\varphi = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt\), называется оператором (или интегралом) Фредгольма.