Интегральные уравнения Фредгольма
Содержание
Определение и классификация
Определение. Интегральное уравнение Фредгольма - это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма.
Определение. Ядро интегрального оператора (ядро Фредгольма) - это функция от двух аргументов \(K(x,\;y)\), определяющая некий интегральный оператор \(\mathcal{A}\) равенством\[\varphi(y)=\mathcal{A}[\varphi(x)]=\int K(x,\;y)\varphi(x)\,d\mu(x),\] где \(x\in\mathbb{X}\) — пространство с мерой \(d\mu(x)\), а \(\varphi(x)\) принадлежит некоторому пространству функций, определённых на \(\mathbb{X}\).
Интегральные уравнения Фредгольма подразделяются на два типа (каждый из типов может быть однородным (\(f(x) \equiv 0 \)) или неоднородным ((\(f(x) \not\equiv 0 \)))):
Интегральное уравнение Фредгольма первого рода.
\[f(x)=\int\limits_a^b\!K(x, s)\varphi(s)\,ds\]
Задача состоит в том, что при заданной непрерывной функции ядра \(K(x, s)\) и функции \( f(x)\) найти функцию \(\varphi(s)\).
Интегральное уравнение Фредгольма второго рода.
\[f(x) =\varphi(x) - \lambda \int\limits_a^b\! K(x, s)\varphi(s)\,ds\] где \(\lambda\) - числовой параметр.
Задача состоит в том, чтобы, имея ядро \(K(t, s)\) и функцию \(f(x)\), найти функцию \(\varphi(x)\). При этом существование решения и его множественность зависит от числа \(\lambda \), называемого характеристическим числом (обратное ему называется собственным).
Основные методы решения
Метод последовательных приближений (метод Неймана)
Метод Неймана является одним из основных методов решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Для уравнения
\[f(x) =\varphi(x) - \lambda \int\limits_a^b\! K(x, s)\varphi(s)\,ds\]
решение ищется в виде ряда Неймана:
\[\varphi(x) = \sum_{n=0}^\infty \lambda^n\varphi_n(x)\]
где
\[\varphi_0(x) = f(x),\,\varphi_{n+1} = \int\limits_a^b\!K(x, s)\varphi_n(s)\,ds\]
Теорема о сходимости метода Неймана. Если \(|\lambda| < 1/\|K\|\), где \(\|K\|\) - норма ядра, то ряд Неймана сходится равномерно, и его сумма является единственным решением интегрального уравнения.
Метод Фредгольма (резольвента)
Метод Фредгольма основан на использовании резольвенты R(x, s, \(\lambda\)). Она определяется как решение интегрального уравнения:
\[R(x, s, \lambda) = K(x, s) + \lambda\int\limits_a^b\!K(x, t)R(t, s, \lambda)\,ds\]
Определитель Фредгольма представим в виде целого ряда:
\[D(\lambda) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-\lambda)^n}{n!}\int\limits_a^b\!...\int\limits_a^b\!K(^{x_1, ... ,x_n}_{x_1, ... ,x_n})\,dx_1...dx_n\] При условии, что определитель Фредгольма \(D(\lambda) \neq 0\), решение неоднородного уравнения выражается формулой
\[\varphi(x) = f(x) + \lambda\int\limits_a^b\!R(x, s, \lambda)f(s)\,ds\]
Теоремы Фредгольма
Первая теорема Фредгольма. Однородное уравнение
\[0 =\varphi(x) - \lambda \int\limits_a^b\! K(x, s)\varphi(s)\,ds\]
и сопряженное с ним уравнение
\[0 =\varpsi(x) - \lambda \int\limits_a^b\! K(x, s)\varpsi(s)\,ds\]
имеют одинаковое конечное число линейно независимых решений.
Вторая теорема Фредгольма. Для разрешимости неоднородного уравнения
\[f(x) =\varphi(x) - \lambda \int\limits_a^b\! K(x, s)\varphi(s)\,ds\]
необходимо и достаточно, чтобы левая часть f(x) была ортогональная всем линейно независимым решениям решениям сопряженного однородного уравнения.
Третья теорема Фредгольма. Каково бы ни было R > 0, круг \(|\lambda| \leq R\) содержит лишь конечное число характеристических значений.
Альтернатива Фредгольма. Либо неоднородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода имеет единственное решение при любой левой части f(x), либо соответствующее однородное уравнение имеет нетривиальные решения.
Применение
Интегральные уравнения Фредгольма имеют широкое применение во многих областях: 1. Физика \begin{itemize} \item Первый пункт \item Второй пункт \item Третий пункт \end{itemize}
