Решения ОДУ в смысле Каратеодори

Рассматривается система дифферинциальных уравнений\[\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).\] Мы хотим понять в каком смысле определять траекторию этой системы \(x(\cdot)\), если управление \(u(\cdot)\) измеримая функция.

Условия Каратеодори

Введем обозначение $$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$ Пусть \((t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \) и \(\exists a > 0, r > 0\) такие, что:

1. Пусть \(g(t,x)\) определена для \(\forall x \in B_r(x_0)\) и почти всех \(\forall t \in [t_0-a,t_0+a];\)
2. \(g(t,x)\) измерима по \(t\) для всех \(\forall x \in B_r(x^0)\), \(g(t,x)\) непрерывна по \(x\) для почти всех \(\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];\)
3. \(\exists m(\cdot) \) интегрируема по Лебегу при \(t \in [t_0-a, t_0+a]\) такая, что

\( ||g(t,x)|| \geq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a]; \)

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

Абсолютно непрерывные функции

Мы бы хотели найти решение задачи Коши \begin{equation*} \begin{cases} \dot x(t) = g(t, x(t))\\ x(t_0) = x^0, \end{cases} \end{equation*} в следующем классе функций:

1. \( x(\cdot) \in C; \)
2. для почти всех \( \dot \forall t\) существует \( \exists \dot x \)
3. для почти всех \( \dot \forall t\) выолнено \( \dot x(t) = g(t, x(t))\).

Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример \begin{equation*} \begin{cases} \dot x(t) = 0\\ x(0) = 0, \end{cases} \end{equation*} Очевидно, что решение системы \( x \equiv 0\). Но такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на \( x \) :
$$ x(\cdot) $$ решение системы \(\Leftrightarrow \) для всех \(\forall t\) выполнено \begin{equation*} x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau \\ \end{equation*}

Из курса функционального анализа известно, что если \( z(\cdot) \) измерима, то для любого \( \epsilon > 0\) существует \( \exists \delta(\epsilon) > 0: \) \begin{equation*} \forall Z: \mu Z \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \epsilon,\\ \end{equation*} что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега.
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два:
3') \( \dot x \) интегрируема по Лебегу;
4) Для всех \( \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. \)
Введем важное определение

Определение 1. Функции, удовлетворяющие условиям 1) 2) 3') и 4) будем называть абсолютно непрерывными, а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] от англ. absolutely continuous. В курсе математического анализа, это определение вводиться по-другому

Определение 1'. Будем говорить, что \( x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1], \) если для любого \( \epsilon > 0 \) существует \( \delta(\epsilon) > 0: \)
\( \forall \tau_{1}^{'}, \) \( \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}\) таких, что \begin{equation*} \tau_0 \leq \tau_1^{'} \leq \tau_1^{''} \dots \leq \tau_k^{'} \leq \tau_k^{''} \leq \tau_1 \end{equation*} выполнено\[ \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}| \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \epsilon \] Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений.

Замечание. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что $$ Lip[\tau_0, \tau_1] \subseteq AC[\tau_0, \tau_1], $$ поскольку \begin{equation*} ||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\epsilon) = \frac{\epsilon}{L}. \end{equation*} Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
С учетом этих определений сформулируем новое определение.

Определение 2. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:

1. \( x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];\)
2. \(x(t_0) = x^{0} \)
3. для почти всех \( \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). \)

Существование решения по Каратеодори

Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем.
Теорема 1(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть \( g(t,x) -- \) измерима по $$t$$ для всех \( \forall x \in B_r(x^0)\) и непрерывна по \(x\) для почти всех \( \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. \) Тогда $$\forall \epsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K-- $$ компакт, такой что \begin{equation*} \mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \epsilon \end{equation*} и \( g(t,x) \) суженная на \( K\times B_r(x^0) \) непрерывна по \((t,x) \)
Теорема 2(Критерий измеримости Лузина). Функция \( z(t)--\) измерима на \( t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0 \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K -- \) компакт такой, что \begin{equation*} \mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \epsilon \end{equation*} и \(z(t) \) суженная на \( K \) непрерывна.
Замечание 3. Из теоремы Лузина следует, что для \( g(t,x)\) существует \(K(x)\), а из Scorza Dragoni следует существования универсального \(K\)(на шаре).
Следствие 1.(Частный случай Scorza Dragoni) Если \( g(t,x)-- \) измерима по \(t\) для всех \(\forall x \), непрерывна по \( x \) для почти всех \(\dot \forall t\),а \(x(\cdot)\) измерима, то функция \(g(t,x(t)) --\) измерима по \( t\)
Доказательство. Функция \(u(\cdot) -- \) измерима, следовательно, из критерия Лузина \(\forall \epsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K \) компакт\[\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \epsilon \] и \( u \) при сужении на \( K -- \) непрерывна. Тогда \begin{equation*} z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau)) \end{equation*} непрерывна на \(K\), а значит, \( z(\cdot)-- \) измерима.
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
Теорема 3(Существование решения исходной системы). Пусть \( 0 < h \leq a \) и \begin{equation*} \int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r. \end{equation*} Тогда существует \( \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]-- \) решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
Доказательство. Выпишем следующую последовательность функций: \begin{equation*} x^{(0)}(t) \equiv x^{0}, \end{equation*} \begin{equation*} x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau. \end{equation*} Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку \( g(\tau, x^{(k)}(\tau)) \) измеримы по \( \tau \) в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией \( m(t) \) (по условию теоремы) и, следовательно интегрируем по Лебегу. При этом \( x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC \). Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0--$$) аналогично)\[ ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \geq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.\] Покажем равностепенную непрерывность\[ \forall \epsilon > 0 \exists \delta(\epsilon): \forall t;, t'': |t'-t''|\leq \delta\] \( \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \epsilon?\) Для нашей последовательности \( ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \epsilon \) в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега. Тогда последовательность непрерывных функций \( x^{(k)}(\cdot) \) равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи, \( x^{(k)}\rightleftharpoons x(\cdot). \) При этом \( || x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||, \) то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и \( x(\cdot) \in C.\) Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности\[ x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].\] Теорема доказана.

Единственность решения

Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по \( x \text{:} \)\[ || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| \] Где \(L(t) -\) интегрируема по Лебегу.
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3):
\( 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - \) интегрируема по Лебегу\[ \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.\] Нетрудно показать что всякая липшицевая по \(x\) функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца.
Теорема 4 (Теорема о единственности решения по Каратеодори).
Пусть выполнены условия Каратеодори 1),2),3) а так же 4). Тогда решение по Каратеодори задачи Коши (1) единственно.
Доказательтво:
Предположим противное. Пусть \(x'(t)\) и \(x''(t) - \) два различных решения (1) на \([t_{0}, t_{0} + h]\). Рассмотрим вспомогательную функцию\[z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.\] Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. \(t\)\[ \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).\] При этом \(z(t_{0}) = 0 \ \ \)(из определения \( z\)). Тогда неравенство\[ \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0\] домножим на \( \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:\)\[ \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 \] для п.в. (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем\[ 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. \] Левое неравенство достигается в силу определения \(z\), а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит \(z(t_{0}) = 0.\) Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают.

Продолжимость решения

В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции \(m(\cdot)\) значением \(r\). Разве этого не достаточно? Оказывается, нет.
Мы рассматриваем систему на отрезке времени \( [t_{0} - a, t_{0} + a]. \) Зафиксируем \(h_{1} < a\) и проинтегрируем исходную систему на \( [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. \) При этом \(||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.\) Переобозначим полученное значение в точке \( \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) \) и запишем новую задачу Коши\[ \begin{cases} \dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\ x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1} \end{cases} \] Таким образом, мы продвинулись на \(h_{1}\) вправо по времени.
Далее аналогичным образом выберем \(h_{2},h_{3} \) и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую \( m(\cdot) \) и варьировать соответствующее ей значение \(r\), устремляя таким образом \(h \rightarrow a\) и \( h \rightarrow +\infty\). При этом \(r\) не будет ограничено, если \( h_{1} + h_{2} + \ldots < a. \)
Пример 1. \begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\ x(t) = 1 \end{cases} \end{equation*} Проинтегрировав систему: \begin{equation*} \int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt \end{equation*} получим решение \( x(t) = \frac{1}{1 - t} \), неограниченно растущее в окрестности \(t = 1\).
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения: \begin{equation} \overset{-}{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{решение ЗК (1) при } t \in [t_{0}, \tau]\}, \end{equation} \begin{equation} \underset{-}{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{решение ЗК (1) при } t \in [\tau,t_{0}]\}. \end{equation} Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны).
Теорема 5.
Пусть \(\overset{-}{\tau} < t_0 + a \ (\underset{-}{\tau} > t_0 - a). \) Тогда для \(\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overset{-}{\tau}) (\tau \in (\underset{-}{\tau}, t_0)) \) такое, что \( ||x(\tau) - x^0|| = r.\)
Доказательство.
Предположим противное. Пусть \(\exists \overset{-}{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overset{-}{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overset{-}{r}. \)
Пусть \(\Delta > 0, r = \overset{-}{r} + \Delta,\) тогда \(\forall t \in [t_0, \overset{-}{\tau}) \) верно \begin{equation*} B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0). \end{equation*} Возьмем \(\delta = t_0 + a - \overset{-}{\tau} > 0. \) Тогда \(\overset{-}{\tau} + \delta < t_0 + a. \)
Для любого \(\forall \tau \in [t_0, \overset{-}{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). \)
Существует \(\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. \) При этом получается, что \(h-\) не зависит от \(\tau\) (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения\(:\) \(h- \) универсально для всех \(\tau \in [t_0, \overset{-}{\tau}),\) то есть мы можем проинтегрировать \(x(\cdot) \) до момента \(\tau + h \) для любого \(\tau. \) По определению \(\overset{-}{\tau}- \) это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума \(: \exists \tau: \overset{-}{\tau} - \tau < h/2. \) Для этого \(\tau \) проинтегрируем систему до \(\tau + h. \) Но тогда получается, что \(\tau + h > \overset{-}{\tau}, \) что приводит нас к противоречию.
Теорема доказана.
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с \(a\) и заменим отрезок времени на \([t_0,t_1] \) либо \(\R \) (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево). \begin{equation} \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x,\alpha,\beta = const >0 \end{equation} \begin{equation*} (-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta). \end{equation*} Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)\(:\) \begin{equation*} ||g(t,x)|| \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta. \end{equation*} Замечание 4. Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку \begin{equation} \langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta. \end{equation} Как показать, что такие \(\alpha, \beta \) существуют? Положим \(\alpha = A + 1, \) тогда дискриминант \(||x||^2 - B||x|| + \beta \geq \) будет отрицательный, то есть это будет верно для всех \(\beta. \)
Теорема 6. Пусть выполнено условие (3). Тогда решение \(x(\cdot)\) задачи Коши (1) продолжимо вправо.
Доказательство.
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, \(||x(t)|| \) не ограничена. Рассмотрим \(z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. \) \begin{equation*} \frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta, \end{equation*} \begin{equation*} \frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta. \end{equation*} Домножим на \(exp\{-2\alpha t \}: \) \begin{equation*} \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds. \end{equation*} Значит, \(z(t) \) ограничена, следовательно, \(||x|| \) ограничена, а значит, продолжимость вправо есть.
Теорема доказана.
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив \(m(t) = Ar + B \) (\(r- \) из условий теоремы существования решения).

Итоговые условия на \(f(t,x,u) \)

1. \(f(t,x,u) \) определена на \(\R \times \R^n \times \R^n \) (или \([t_0, t_1]\times \R^n \times \R^n \));
2. \(f(t,x,u)\) непрерывна по по \((t,x,u), \ u(\cdot)- \) измерима;
3. \(||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L = const\);
4. \(||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).\)

Из них следуют соответствующие условия на \(g(t,x):\)

1. \(g(t,x)\) определена п.в. \(t \in \R\) для всех \(\forall x\) (п.в \(t \in [t_0,t_1]\) для всех \(\forall x\));
2. \(g(t,x)-\) измерима по \(t\) для всех \(x\); \(g(t,x)-\) непрерывна по \(x\) для п.в. \(\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) \);
3. \(||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;\)
4. Условие продолжимости вправо (влево)\(: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = const > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). \)