Решения ОДУ в смысле Каратеодори
Рассматривается система дифферинциальных уравнений\[\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).\] Мы хотим понять в каком смысле определять траекторию этой системы \(x(\cdot)\), если управление \(u(\cdot)\) измеримая функция.
Содержание
Условия Каратеодори
Введем обозначение $$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$ Пусть \((t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \) и \(\exists a > 0, r > 0\) такие, что:
- Пусть \(g(t,x)\) определена для \(\forall x \in B_r(x_0)\) и почти всех \(\forall t \in [t_0-a,t_0+a];\)
- \(g(t,x)\) измерима по \(t\) для всех \(\forall x \in B_r(x^0)\), \(g(t,x)\) непрерывна по \(x\) для почти всех \(\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];\)
- \(\exists m(\cdot) \) интегрируема по Лебегу при \(t \in [t_0-a, t_0+a]\) такая, что:
\begin{equation*} ||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a]. \end{equation*}
Эти три условия и называются условиями Каратеодори.
Абсолютно непрерывные функции
Мы бы хотели найти решение задачи Коши \begin{equation*} \begin{cases} \dot x(t) = g(t, x(t)),\\ x(t_0) = x^0, \end{cases} \end{equation*} в следующем классе функций:
- \( x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; \)
- для почти всех \( \dot \forall t\) существует \( \exists \dot x \) и выполнено \( \dot x(t) = g(t, x(t))\).
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример \begin{equation*} \begin{cases} \dot x(t) = 0,\\ x(0) = 0, \end{cases} \end{equation*} Очевидно, что \(x \equiv 0\) является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.
Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на \( x \) :
$$ x(\cdot) $$ решение системы \(\Leftrightarrow \) для всех \(\forall t\) выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}
Из курса функционального анализа известно, что если \( z(\cdot) \) измерима, то для любого \( \epsilon > 0\) существует \( \exists \delta(\epsilon) > 0: \)
\begin{equation*}
\forall Z: \mu Z \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \epsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега.
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два:
3') \( \dot x \) интегрируема по Лебегу;
4) Для всех \( \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. \)
Введём следующие определения:
Определение 1. Функции, удовлетворяющие условиям 1) 2) 3') и 4) будем называть абсолютно непрерывными, а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] (от англ. absolutely continuous).
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому
Определение 1'. Будем говорить, что \( x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
\) если для любого \( \epsilon > 0 \) существует \( \delta(\epsilon) > 0: \)
\( \forall \tau_{1}^{'}, \) \( \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}\) таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1
\end{equation*}
выполнено\[ \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \epsilon \]
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений.
Замечание. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$
Так же известно, что
$$ Lip[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\epsilon) = \frac{\epsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
С учетом этих определений сформулируем новое определение.
Определение 2. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
- \( x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];\)
- \(x(t_0) = x^{0} \)
- для почти всех \( \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). \)
Существование решения по Каратеодори
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем.
Теорема 1(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть \( g(t,x) \)
измерима по $$t$$ для всех \( \forall x \in B_r(x^0)\) и непрерывна по \(x\) для почти всех \( \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. \)
Тогда $$\forall \epsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \epsilon
\end{equation*}
и \( g(t,x) \) суженная на \( K\times B_r(x^0) \) непрерывна по \((t,x) \)
Теорема 2(Критерий измеримости Лузина). Функция \( z(t) \) измерима на \( t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0 \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K \) компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \epsilon
\end{equation*}
и \(z(t) \) суженная на \( K \) непрерывна.
Замечание 3. Из теоремы Лузина следует, что для \( g(t,x)\)
существует \(K(x)\), а из теоремы 1 следует существование универсального \(K\)(на шаре).
Следствие 1.(Частный случай Scorza Dragoni) Если \( g(t,x)
\) измерима по \(t\) для всех \(\forall x \), непрерывна по \( x \) для почти всех \(\dot \forall t\),а \(x(\cdot)\) измерима, то функция \(g(t,x(t)) \) измерима по \( t\)
Доказательство. Функция \(u(\cdot) \) измерима, следовательно, из критерия Лузина \(\forall \epsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K \) компакт\[\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \epsilon \]
и \( u \) при сужении на \( K \) непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на \(K\), а значит, \( z(\cdot) \)
измерима.
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
Теорема 3(Существование решения исходной системы). Пусть \( 0 < h \leq a \) и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует \( \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
\) решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
Доказательство. Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку \( g(\tau, x^{(k)}(\tau)) \) измеримы по \( \tau \) в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией \( m(t) \) (по условию теоремы) и, следовательно интегрируем по Лебегу. При этом \( x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC \).
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.
Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$) аналогично)\[ ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.\] Покажем равностепенную непрерывность\[ \forall \epsilon > 0 \exists \delta(\epsilon): \forall t', t'': |t'-t''| \in [t_0-h,t_0+h], t'\leq t'':\leq \delta\] \begin{equation*} \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \epsilon? \end{equation*} Для нашей последовательности \begin{equation*} ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \epsilon \end{equation*} в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега. Тогда последовательность непрерывных функций \( x^{(k)}(\cdot) \) равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи, \( x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). \) При этом \( || x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||, \) то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и \( x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].\) Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности\[ x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].\] Теорема доказана.
Единственность решения
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по \( x \text{:} \)\[ || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| \]
Где \(L(t) -\) интегрируема по Лебегу.
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3):
\( 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - \) интегрируема по Лебегу\[ \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.\]
Нетрудно показать что всякая липшицевая по \(x\) функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца.
Теорема 4 (Теорема о единственности решения по Каратеодори).
Пусть выполнены условия Каратеодори 1),2),3) а так же 4). Тогда решение по Каратеодори задачи Коши единственно.
Доказательтво:
Предположим противное. Пусть \(x'(t)\) и \(x''(t) - \) два различных решения задачи Коши на \([t_{0}, t_{0} + h]\). Рассмотрим вспомогательную функцию\[z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.\]
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. \(t\)\[ \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).\]
При этом \(z(t_{0}) = 0 \ \ \)(из определения \( z\)). Тогда неравенство\[ \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0\]
домножим на \( \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:\)\[ \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 \]
для п.в. \(t\) (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем\[ 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. \]
Левое неравенство достигается в силу определения \(z\), а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит \(z(t_{0}) = 0.\) Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают.
Продолжимость решения
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции \(m(\cdot)\) значением \(r\). Разве этого не достаточно? Оказывается, нет.
Мы рассматриваем систему на отрезке времени \( [t_{0} - a, t_{0} + a]. \) Зафиксируем \(h_{1} < a\) и проинтегрируем исходную систему на \( [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. \) При этом \(||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.\) Переобозначим полученное значение в точке \( \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) \) и запишем новую задачу Коши\[
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
\]
Таким образом, мы продвинулись на \(h_{1}\) вправо по времени.
Далее аналогичным образом выберем \(h_{2},h_{3} \) и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую \( m(\cdot) \) и варьировать соответствующее ей значение \(r\), устремляя таким образом \(h \rightarrow a\) и \( h \rightarrow +\infty\). При этом \(r\) не будет ограничено, если \( h_{1} + h_{2} + \ldots < a. \)
Пример 1.
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение \( x(t) = \frac{1}{1 - t} \), неограниченно растущее в окрестности \(t = 1\).
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{решение [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|ЗК]] при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{решение [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|ЗК]] при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны).
Теорема 5.
Пусть \(\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). \) Тогда для \(\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) \) такое, что \( ||x(\tau) - x^0|| = r.\)
Доказательство.
Предположим противное. Пусть \(\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. \)
Пусть \(\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,\) тогда \(\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) \) верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем \(\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. \) Тогда \(\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. \)
Для любого \(\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). \)
Существует \(\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. \) При этом получается, что \(h-\) не зависит от \(\tau\) (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения\(:\) \(h- \) универсально для всех \(\tau \in [t_0, \overline{\tau}),\) то есть мы можем проинтегрировать \(x(\cdot) \) до момента \(\tau + h \) для любого \(\tau. \) По определению \(\overline{\tau}- \) это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума \(: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. \) Для этого \(\tau \) проинтегрируем систему до \(\tau + h. \) Но тогда получается, что \(\tau + h > \overline{\tau}, \) что приводит нас к противоречию.
Теорема доказана.
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с \(a\) и заменим отрезок времени на \([t_0,t_1] \) либо \(\R \) (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x,\alpha,\beta = const >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)\(:\)
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation*}
Замечание. Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие \(\alpha, \beta \) существуют? Положим \(\alpha = A + 1, \) тогда дискриминант \(||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 \) будет отрицательный, то есть это будет верно для всех \(\beta. \)
Теорема 6.
Пусть выполнено условие (3). Тогда решение \(x(\cdot)\) задачи Коши продолжимо вправо.
Доказательство.
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, \(||x(t)|| \) не ограничена. Рассмотрим \(z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. \)
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на \(exp\{-2\alpha t \}: \)
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, \(z(t) \) ограничена, следовательно, \(||x|| \) ограничена, а значит, продолжимость вправо есть.
Теорема доказана.
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив \(m(t) = Ar + B \) (\(r- \) из условий теоремы существования решения).
Итоговые условия на \(f(t,x,u) \)
- \(f(t,x,u) \) определена на \(\R \times \R^n \times \R^m \) (или \([t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m \));
- \(f(t,x,u)\) непрерывна по по \((t,x,u), \ u(\cdot)- \) измерима;
- \(||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L = const\);
- \(||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).\)
Из них следуют соответствующие условия на \(g(t,x):\)
- \(g(t,x)\) определена п.в. \(t \in \R\) для всех \(\forall x\) (п.в \(t \in [t_0,t_1]\) для всех \(\forall x\));
- \(g(t,x)-\) измерима по \(t\) для всех \(x\); \(g(t,x)-\) непрерывна по \(x\) для п.в. \(\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) \);
- \(||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;\)
- Условие продолжимости вправо (влево)\(: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = const > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). \)
Список литературы
1) Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021.
2) А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. Издательство "ФИЗМАТЛИТ". 2019