Банахово пространство: различия между версиями

Материал из sawiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
(не показано 5 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 
== Определение нормированного пространства ==
 
== Определение нормированного пространства ==
  
'''Определение 1''': Непустое множество $$L$$ элементов $$x, y, z\dots,$$ называется '''линейным''', или '''векторным''', '''пространством''', если оно удовлетворяет следующим условиям:
+
'''Определение 1'''. Непустое множество $$L$$ элементов $$x, y, z\dots,$$ называется '''линейным''', или '''векторным''', '''пространством''', если оно удовлетворяет следующим условиям:
  
Для любых двух элементов $$x, y \in  L$$ однозначно определен третий элемент $$z \in  L$$, называемый их $$\textit{суммой}$$ и обозначаемый $$x + y$$, причем
+
Для любых двух элементов $$x, y \in  L$$ однозначно определен третий элемент $$z \in  L$$, называемый их ''суммой'' и обозначаемый $$x + y$$, причем
# $$ x + y = y + x$$ ($$\textit{коммутативность сложения}$$);
+
# $$ x + y = y + x$$ (''коммутативность сложения'');
# $$ x + (y + z) = (x + y) + z$$ ($$\textit{ассоциативность сложения}$$);
+
# $$ x + (y + z) = (x + y) + z$$ (''ассоциативность сложения'');
# В $$L$$ существует такой элемент $$0$$, что $$ x + 0 = x$$ для всех $$ x \in L$$ ($$\textit{существование нуля}$$);
+
# В $$L$$ существует такой элемент $$0$$, что $$ x + 0 = x$$ для всех $$ x \in L$$ (''существование нуля'');
# Для каждого $$ x \in L$$ существует такой элемент $$-x$$, что $$ x + (-x) = 0$$ ($$\textit{существование противоположного элемента}$$).
+
# Для каждого $$ x \in L$$ существует такой элемент $$-x$$, что $$ x + (-x) = 0$$ (''существование противоположного элемента'').
  
Для любого числа $$\alpha$$ и любого элемента $$ x \in L$$ определен элемент $$ \alpha x \in L$$ ($$\textit{произведение}$$ элемента $$x$$ на число $$\alpha$$), причем
+
Для любого числа $$\alpha$$ и любого элемента $$ x \in L$$ определен элемент $$ \alpha x \in L$$ (''произведение'' элемента $$x$$ на число $$\alpha$$), причем
# $$ \alpha (\beta x) = (\alpha \beta) x$$ $$(\textit{ассоциативность умножения})$$;
+
# $$ \alpha (\beta x) = (\alpha \beta) x$$ (''ассоциативность умножения'');
# $$ 1 \cdot x = x $$ ($$\textit{унитарность}$$);
+
# $$ 1 \cdot x = x $$ (''унитарность'');
# $$ (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$$ ($$\textit{дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров}$$);
+
# $$ (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$$ (''дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров'');
# $$ \alpha (x+y) = \alpha x + \alpha y$$ ($$\textit{дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов}$$).
+
# $$ \alpha (x+y) = \alpha x + \alpha y$$ (''дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов'').
  
'''Определение 2''': Пусть $$L$$ — линейное пространство. Каждому элементу $$ x$$ линейного пространства $$L$$ ставится в соответствие вещественное число, которое называется '''нормой''' этого элемента  и обозначается $$\|x\|$$, причем предполагается, что норма элемента удовлетворяет следующим условиям $$(\textit{аксиомам нормы})$$:
+
'''Определение 2'''. Пусть $$L$$ — линейное пространство. Каждому элементу $$ x$$ линейного пространства $$L$$ ставится в соответствие вещественное число, которое называется '''нормой''' этого элемента  и обозначается $$\|x\|$$, причем предполагается, что норма элемента удовлетворяет следующим условиям (''аксиомам нормы''):
 
# $$\|x\| \geq 0 $$, причем $$\|x\| = 0 $$, лишь если $$x = 0$$;
 
# $$\|x\| \geq 0 $$, причем $$\|x\| = 0 $$, лишь если $$x = 0$$;
 
# $$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| $$;
 
# $$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| $$;
 
# $$\| \alpha x\| = |\alpha| \|x\|$$.
 
# $$\| \alpha x\| = |\alpha| \|x\|$$.
  
'''Определение 3''': Линейное пространство $$L$$, в котором задана некоторая норма, называется '''нормированным пространством'''.
+
'''Определение 3'''. Линейное пространство $$L$$, в котором задана некоторая норма, называется '''нормированным пространством'''.
  
 
Всякое нормированное пространство становится [[Метрическое пространство|метрическим пространством]], если ввести в нем расстояние:
 
Всякое нормированное пространство становится [[Метрическое пространство|метрическим пространством]], если ввести в нем расстояние:
Строка 28: Строка 28:
  
 
Легко проверить, что введенное расстояние удовлетворяет всем аксиомам метрики.
 
Легко проверить, что введенное расстояние удовлетворяет всем аксиомам метрики.
 +
 +
'''Теорема Рисса''' (о почти перпендикуляре). Пусть $$L$$ — подпространство линейного нормированного пространства $$E$$, не совпадающее с $$E$$.
 +
Тогда для любого заданного $$\varepsilon > 0$$ найдется в $$E$$ такой элемент $$y$$ с нормой, равной единице, что
 +
\begin{equation*}
 +
\|x - y\| > 1 - \varepsilon
 +
\end{equation*}
 +
для всех $$x \in L$$.
  
 
== Определение банахова пространства ==
 
== Определение банахова пространства ==
Строка 33: Строка 40:
 
Введем аналогичные [[Метрическое пространство|метрическому пространству]] понятия для нормированных пространств.
 
Введем аналогичные [[Метрическое пространство|метрическому пространству]] понятия для нормированных пространств.
  
'''Определение 4''': Последовательность $$\left\{x_n\right\}$$ называется '''сходящейся''' к пределу $$x \in M$$, если
+
'''Определение 4'''. Последовательность $$\left\{x_n\right\}$$ называется '''сходящейся''' к пределу $$x \in M$$, если
 
$$
 
$$
\forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n>N ~~\|x_n - x\|<\varepsilon .
+
\forall \varepsilon>0 \space \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n>N ~~\|x_n - x\|<\varepsilon .
 
$$
 
$$
 
Определенная таким образом сходимость называется '''сходимостью по норме'''.
 
Определенная таким образом сходимость называется '''сходимостью по норме'''.
  
'''Определение 5''': Последовательность точек $$\left\{x_n\right\}$$ в нормированном пространстве $$L$$ называется '''фундаментальной''', если
+
'''Определение 5'''. Последовательность точек $$\left\{x_n\right\}$$ в нормированном пространстве $$L$$ называется '''фундаментальной''', если
 
$$
 
$$
 
\forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n, m>N \Rightarrow \|x_n - x_m\|<\varepsilon .
 
\forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n, m>N \Rightarrow \|x_n - x_m\|<\varepsilon .
 
$$
 
$$
  
'''Определение 6''': Нормированное пространство $$L$$ называется '''полным''', если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства является сходящейся.  
+
'''Определение 6'''. Нормированное пространство $$L$$ называется '''полным''', если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства является сходящейся.  
  
'''Определение 7''': Полное в смысле сходимости по норме линейное нормированное пространство называется '''банаховым пространством'''.
+
'''Определение 7'''. Полное в смысле сходимости по норме линейное нормированное пространство называется '''банаховым пространством'''.
  
 
== Примеры ==
 
== Примеры ==
Строка 54: Строка 61:
 
Для банаховых пространств будет справедливым все, что установлено для полных метрических пространств. Рассмотрим примеры банаховых пространств.
 
Для банаховых пространств будет справедливым все, что установлено для полных метрических пространств. Рассмотрим примеры банаховых пространств.
  
'''Пример 1''': Пространство $$\mathbb{R}^n$$ с введенной нормой
+
'''Пример 1'''. Пространство $$\mathbb{R}^n$$ с введенной нормой
 
\begin{equation*}
 
\begin{equation*}
 
\|x\| = \sqrt{\sum \limits_{i = 1}^{n} x_i^2},
 
\|x\| = \sqrt{\sum \limits_{i = 1}^{n} x_i^2},
Строка 60: Строка 67:
 
является банаховым пространством.  
 
является банаховым пространством.  
  
'''Пример 2''': Пространство $$C[a, b]$$ с введенной нормой
+
'''Пример 2'''. Пространство $$C[a, b]$$ с введенной нормой
 
\begin{equation*}
 
\begin{equation*}
 
\|x\| = \max \limits_{t \in [a,b]} {x(t)},
 
\|x\| = \max \limits_{t \in [a,b]} {x(t)},
Строка 66: Строка 73:
 
является банаховым пространством.  
 
является банаховым пространством.  
  
'''Пример 3''': Пространство $$l_p$$ с введенной нормой
+
'''Пример 3'''. Пространство $$l_p$$ с введенной нормой
 
\begin{equation*}
 
\begin{equation*}
 
\|x\| = \sqrt[p]{\sum \limits_{i = 1}^{\infty} {|x_i|^p}},
 
\|x\| = \sqrt[p]{\sum \limits_{i = 1}^{\infty} {|x_i|^p}},
Строка 72: Строка 79:
 
является банаховым пространством.  
 
является банаховым пространством.  
  
'''Пример 4''': Пространство $$L_p[0,1]$$ с введенной нормой
+
'''Пример 4'''. Пространство $$L_p[a,b]$$ с введенной нормой
 
\begin{equation*}
 
\begin{equation*}
\|x\| = \sqrt[p]{\int \limits_{0}^{1} {|x(t)|^p dt}},
+
\|x\| = \sqrt[p]{\int \limits_{a}^{b} {|x(t)|^p dt}},
 
\end{equation*}
 
\end{equation*}
 
является банаховым пространством.  
 
является банаховым пространством.  
  
'''Пример 5''': Рассмотрим пространство функций $$x(t)$$, определенных на $$[a,b]$$, непрерывных на этом отрезке и имеющих на нем непрерывные производные до $$k$$-го порядка включительно. Введем в данном пространстве норму:
+
'''Пример 5'''. Рассмотрим пространство функций $$x(t)$$, определенных на $$[a,b]$$, непрерывных на этом отрезке и имеющих на нем непрерывные производные до $$k$$-го порядка включительно. Введем в данном пространстве норму:
 
\begin{equation*}
 
\begin{equation*}
 
\|x\| = \max{(\max \limits_{t \in [a,b]} {x(t)}, \max \limits_{t \in [a,b]} {x^{\prime}(t)}, \dots, \max \limits_{t \in [a,b]} {x^{(k)}(t)})}.
 
\|x\| = \max{(\max \limits_{t \in [a,b]} {x(t)}, \max \limits_{t \in [a,b]} {x^{\prime}(t)}, \dots, \max \limits_{t \in [a,b]} {x^{(k)}(t)})}.
Строка 84: Строка 91:
 
Получим банахово пространство, которое обозначается $$C^{k}[a, b]$$. Это пространство широко используется в вариационном исчислении.
 
Получим банахово пространство, которое обозначается $$C^{k}[a, b]$$. Это пространство широко используется в вариационном исчислении.
  
'''Пример 6''': Пространство $$l_{\infty}$$ с введенной нормой
+
'''Пример 6'''. Пространство $$l_{\infty}$$ с введенной нормой
 
\begin{equation*}
 
\begin{equation*}
 
\|x\| = \underset{i \in \mathbb{N}}{\text{sup}}|x_i|,
 
\|x\| = \underset{i \in \mathbb{N}}{\text{sup}}|x_i|,
 
\end{equation*}
 
\end{equation*}
 
является банаховым пространством.
 
является банаховым пространством.
 +
 +
'''Пример 7'''. Пространство непрерывных на $$[-1,1]$$ функций с интегральной нормой
 +
\begin{equation*}
 +
\|x\| = \int \limits_{-1}^{1} {|x(t)| dt},
 +
\end{equation*}
 +
не является банаховым пространством. Рассмотрим последовательность
 +
\begin{equation*}
 +
x_n(t) =
 +
\begin{cases}
 +
      -1, t \in \left[-1, -\frac{1}{n} \right],\\
 +
      nt, t \in \left[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right],\\
 +
      1, t \in \left[\frac{1}{n}, 1 \right].
 +
\end{cases}
 +
\end{equation*}
 +
 +
Она фундаментальная, так как
 +
\begin{equation*}
 +
\|x_{n+p}(t) - x_n(t)\| = \int \limits_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} {|x_{n+p}(t) - x_n(t)| dt} \leq 2 \int \limits_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} {dt} = \frac{4}{n} \rightarrow 0.
 +
\end{equation*}
 +
 +
Эта последовательность сходится к функции
 +
\begin{equation*}
 +
x(t) =
 +
\begin{cases}
 +
      -1, t \in [-1,0),\\
 +
      0, t = 0,\\
 +
      1, t \in (0,1].
 +
\end{cases}
 +
\end{equation*}
 +
которая является разрывной. Следовательно, пространство не является банаховым.
 +
 +
 +
== Линейные операторы ==
 +
 +
'''Определение 8'''. Пусть $$X, Y$$ — линейные пространства. Оператор $$A: X \rightarrow Y$$ называется '''линейным''', если $$\forall x, z \in X, \lambda \in \mathbb{R}$$:
 +
#<math>
 +
      A(x+z) = Ax + Az.
 +
</math>
 +
#<math>
 +
      A(\lambda x) = \lambda Ax.
 +
</math>
 +
 +
'''Определение 9'''. Оператор $$A: X \rightarrow Y$$ называется '''непрерывным''', если
 +
\begin{equation*}
 +
\forall {x_n}, x \in X, x_n \rightarrow x_0 \Rightarrow Ax_n \rightarrow Ax_0
 +
\end{equation*}
 +
или
 +
\begin{equation*}
 +
\forall \varepsilon > 0 \space \exists \delta (\varepsilon): \|x-x_0\|_X < \delta \Rightarrow \|Ax-Ax_0\|_Y < \varepsilon.
 +
\end{equation*}
 +
 +
'''Определение 10'''. Оператор $$A: X \rightarrow Y$$ называется '''ограниченным''', если
 +
\begin{equation*}
 +
\exists M = \text{const}: \|Ax\|_Y \leq M \|x\|_X \space \forall x \in X.
 +
\end{equation*}
 +
 +
'''Утверждение'''. Линейный оператор непрерывен $$\iff$$ он ограничен.
 +
 +
Пусть $$X, Y$$ — линейные нормированные пространства и $$A: X \rightarrow Y$$ и
 +
\begin{equation*}
 +
D(A) \subset X — \text{область определения} \space A,
 +
\end{equation*}
 +
\begin{equation*}
 +
R(A) \subset Y — \text{область значений} \space A
 +
\end{equation*}
 +
и
 +
\begin{equation*}
 +
\forall x \in D(A) \space \exists! y \in R(A): Ax = y.
 +
\end{equation*}
 +
 +
'''Определение 11'''. Если
 +
\begin{equation*}
 +
\forall y \in R(A) \space \exists! x \in D(A): Ax = y,
 +
\end{equation*}
 +
то на $$R(A)$$ задан '''обратный''' оператор
 +
\begin{equation*}
 +
x = A^{-1}y.
 +
\end{equation*}
 +
 +
'''Теорема Банаха об обратном операторе'''. Пусть $$X,Y$$ — банаховы, $$A: X \rightarrow Y$$ — линейный ограниченный оператор, осуществляющий биективное отображение
 +
всего пространства $$X$$ на все пространство $$Y$$.
 +
 +
Тогда существует обратный оператор являющийся ограниченным и отображающий $$Y$$ на $$X$$.
  
 
== Список литературы ==
 
== Список литературы ==

Текущая версия на 20:16, 22 февраля 2024

Определение нормированного пространства

Определение 1. Непустое множество $$L$$ элементов $$x, y, z\dots,$$ называется линейным, или векторным, пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

Для любых двух элементов $$x, y \in L$$ однозначно определен третий элемент $$z \in L$$, называемый их суммой и обозначаемый $$x + y$$, причем

  1. $$ x + y = y + x$$ (коммутативность сложения);
  2. $$ x + (y + z) = (x + y) + z$$ (ассоциативность сложения);
  3. В $$L$$ существует такой элемент $$0$$, что $$ x + 0 = x$$ для всех $$ x \in L$$ (существование нуля);
  4. Для каждого $$ x \in L$$ существует такой элемент $$-x$$, что $$ x + (-x) = 0$$ (существование противоположного элемента).

Для любого числа $$\alpha$$ и любого элемента $$ x \in L$$ определен элемент $$ \alpha x \in L$$ (произведение элемента $$x$$ на число $$\alpha$$), причем

  1. $$ \alpha (\beta x) = (\alpha \beta) x$$ (ассоциативность умножения);
  2. $$ 1 \cdot x = x $$ (унитарность);
  3. $$ (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$$ (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров);
  4. $$ \alpha (x+y) = \alpha x + \alpha y$$ (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов).

Определение 2. Пусть $$L$$ — линейное пространство. Каждому элементу $$ x$$ линейного пространства $$L$$ ставится в соответствие вещественное число, которое называется нормой этого элемента и обозначается $$\|x\|$$, причем предполагается, что норма элемента удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы):

  1. $$\|x\| \geq 0 $$, причем $$\|x\| = 0 $$, лишь если $$x = 0$$;
  2. $$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| $$;
  3. $$\| \alpha x\| = |\alpha| \|x\|$$.

Определение 3. Линейное пространство $$L$$, в котором задана некоторая норма, называется нормированным пространством.

Всякое нормированное пространство становится метрическим пространством, если ввести в нем расстояние: \begin{equation*} d(x,y) = \|x - y\|. \end{equation*}

Легко проверить, что введенное расстояние удовлетворяет всем аксиомам метрики.

Теорема Рисса (о почти перпендикуляре). Пусть $$L$$ — подпространство линейного нормированного пространства $$E$$, не совпадающее с $$E$$. Тогда для любого заданного $$\varepsilon > 0$$ найдется в $$E$$ такой элемент $$y$$ с нормой, равной единице, что \begin{equation*} \|x - y\| > 1 - \varepsilon \end{equation*} для всех $$x \in L$$.

Определение банахова пространства

Введем аналогичные метрическому пространству понятия для нормированных пространств.

Определение 4. Последовательность $$\left\{x_n\right\}$$ называется сходящейся к пределу $$x \in M$$, если $$ \forall \varepsilon>0 \space \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n>N ~~\|x_n - x\|<\varepsilon . $$ Определенная таким образом сходимость называется сходимостью по норме.

Определение 5. Последовательность точек $$\left\{x_n\right\}$$ в нормированном пространстве $$L$$ называется фундаментальной, если $$ \forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n, m>N \Rightarrow \|x_n - x_m\|<\varepsilon . $$

Определение 6. Нормированное пространство $$L$$ называется полным, если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства является сходящейся.

Определение 7. Полное в смысле сходимости по норме линейное нормированное пространство называется банаховым пространством.

Примеры

Так как линейное нормированное пространство является метрическим пространством, то для этого пространства имеют смысл все понятия, введенные в метрических пространствах.

Для банаховых пространств будет справедливым все, что установлено для полных метрических пространств. Рассмотрим примеры банаховых пространств.

Пример 1. Пространство $$\mathbb{R}^n$$ с введенной нормой \begin{equation*} \|x\| = \sqrt{\sum \limits_{i = 1}^{n} x_i^2}, \end{equation*} является банаховым пространством.

Пример 2. Пространство $$C[a, b]$$ с введенной нормой \begin{equation*} \|x\| = \max \limits_{t \in [a,b]} {x(t)}, \end{equation*} является банаховым пространством.

Пример 3. Пространство $$l_p$$ с введенной нормой \begin{equation*} \|x\| = \sqrt[p]{\sum \limits_{i = 1}^{\infty} {|x_i|^p}}, \end{equation*} является банаховым пространством.

Пример 4. Пространство $$L_p[a,b]$$ с введенной нормой \begin{equation*} \|x\| = \sqrt[p]{\int \limits_{a}^{b} {|x(t)|^p dt}}, \end{equation*} является банаховым пространством.

Пример 5. Рассмотрим пространство функций $$x(t)$$, определенных на $$[a,b]$$, непрерывных на этом отрезке и имеющих на нем непрерывные производные до $$k$$-го порядка включительно. Введем в данном пространстве норму: \begin{equation*} \|x\| = \max{(\max \limits_{t \in [a,b]} {x(t)}, \max \limits_{t \in [a,b]} {x^{\prime}(t)}, \dots, \max \limits_{t \in [a,b]} {x^{(k)}(t)})}. \end{equation*} Получим банахово пространство, которое обозначается $$C^{k}[a, b]$$. Это пространство широко используется в вариационном исчислении.

Пример 6. Пространство $$l_{\infty}$$ с введенной нормой \begin{equation*} \|x\| = \underset{i \in \mathbb{N}}{\text{sup}}|x_i|, \end{equation*} является банаховым пространством.

Пример 7. Пространство непрерывных на $$[-1,1]$$ функций с интегральной нормой \begin{equation*} \|x\| = \int \limits_{-1}^{1} {|x(t)| dt}, \end{equation*} не является банаховым пространством. Рассмотрим последовательность \begin{equation*} x_n(t) = \begin{cases} -1, t \in \left[-1, -\frac{1}{n} \right],\\ nt, t \in \left[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right],\\ 1, t \in \left[\frac{1}{n}, 1 \right]. \end{cases} \end{equation*}

Она фундаментальная, так как \begin{equation*} \|x_{n+p}(t) - x_n(t)\| = \int \limits_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} {|x_{n+p}(t) - x_n(t)| dt} \leq 2 \int \limits_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} {dt} = \frac{4}{n} \rightarrow 0. \end{equation*}

Эта последовательность сходится к функции \begin{equation*} x(t) = \begin{cases} -1, t \in [-1,0),\\ 0, t = 0,\\ 1, t \in (0,1]. \end{cases} \end{equation*} которая является разрывной. Следовательно, пространство не является банаховым.


Линейные операторы

Определение 8. Пусть $$X, Y$$ — линейные пространства. Оператор $$A: X \rightarrow Y$$ называется линейным, если $$\forall x, z \in X, \lambda \in \mathbb{R}$$:

  1. \( A(x+z) = Ax + Az. \)
  2. \( A(\lambda x) = \lambda Ax. \)

Определение 9. Оператор $$A: X \rightarrow Y$$ называется непрерывным, если \begin{equation*} \forall {x_n}, x \in X, x_n \rightarrow x_0 \Rightarrow Ax_n \rightarrow Ax_0 \end{equation*} или \begin{equation*} \forall \varepsilon > 0 \space \exists \delta (\varepsilon): \|x-x_0\|_X < \delta \Rightarrow \|Ax-Ax_0\|_Y < \varepsilon. \end{equation*}

Определение 10. Оператор $$A: X \rightarrow Y$$ называется ограниченным, если \begin{equation*} \exists M = \text{const}: \|Ax\|_Y \leq M \|x\|_X \space \forall x \in X. \end{equation*}

Утверждение. Линейный оператор непрерывен $$\iff$$ он ограничен.

Пусть $$X, Y$$ — линейные нормированные пространства и $$A: X \rightarrow Y$$ и \begin{equation*} D(A) \subset X — \text{область определения} \space A, \end{equation*} \begin{equation*} R(A) \subset Y — \text{область значений} \space A \end{equation*} и \begin{equation*} \forall x \in D(A) \space \exists! y \in R(A): Ax = y. \end{equation*}

Определение 11. Если \begin{equation*} \forall y \in R(A) \space \exists! x \in D(A): Ax = y, \end{equation*} то на $$R(A)$$ задан обратный оператор \begin{equation*} x = A^{-1}y. \end{equation*}

Теорема Банаха об обратном операторе. Пусть $$X,Y$$ — банаховы, $$A: X \rightarrow Y$$ — линейный ограниченный оператор, осуществляющий биективное отображение всего пространства $$X$$ на все пространство $$Y$$.

Тогда существует обратный оператор являющийся ограниченным и отображающий $$Y$$ на $$X$$.

Список литературы

1. Точилин П. А. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

2. Моисеев Е. И. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.