Банахово пространство

Определение линейного пространства

Определение 1: Непустое множество $$L$$ элементов $$x, y, z\dots,$$ называется линейным, или векторным, пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

Для любых двух элементов $$x, y \in L$$ однозначно определен третий элемент $$z \in L$$, называемый их $$\textit{суммой}$$ и обозначаемый $$x + y$$, причем

1. $$ x + y = y + x$$ ($$\textit{коммутативность}$$);
2. $$ x + (y + z) = (x + y) + z$$ ($$\textit{ассоциативность}$$);
3. В $$L$$ существует такой элемент $$0$$, что $$ x + 0 = x$$ для всех $$ x \in L$$ ($$\textit{существование нуля}$$);
4. Для каждого $$ x \in L$$ существует такой элемент $$-x$$, что $$ x + (-x) = 0$$ ($$\textit{существование противоположного элемента}$$).

Для любого числа $$\alpha$$ и любого элемента $$ x \in L$$ определен элемент $$ \alpha x \in L$$ ($$\textit{произведение}$$ элемента $$x$$ на число $$\alpha$$), причем

1. $$ \alpha (\beta x) = (\alpha \beta) x$$ $$(\textit{ассоциативность умножения})$$;
2. $$ 1 \cdot x = x $$ ($$\textit{унитарность}$$);
3. $$ (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$$ ($$\textit{дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров}$$);
4. $$ \alpha (x+y) = \alpha x + \alpha y$$ ($$\textit{дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов}$$).

Список литературы

1. Точилин П. А. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

2. Моисеев Е. И. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.