Гамильтоновы системы: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Timur23 (обсуждение | вклад) |
Timur23 (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
===== Определения ===== | ===== Определения ===== | ||
Рассмотрим одномерное уравнение Ньютона | Рассмотрим одномерное уравнение Ньютона | ||
| − | \begin{ | + | \begin{gather*} |
m \ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0 | m \ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0 | ||
| − | \end{ | + | \end{gather*} |
Это уравнение эквивалентно системе | Это уравнение эквивалентно системе | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
| + | \label{eq1} | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
\dot{x} = p,\\ | \dot{x} = p,\\ | ||
| Строка 12: | Строка 13: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
'''Определение 1.''' | '''Определение 1.''' | ||
| − | + | Функция $$U(x)$$ называется '''потенциалом системы''', если $$U'(x)=-f(x)$$ | |
| − | + | ||
| − | + | Далее предположим, что $$f(x)$$ — непрерывная функция. Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. | |
| − | + | ||
| − | + | '''Определение 2.''' | |
| − | + | Первый интеграл системы (\ref{eq1}) называется '''гамильтонианом''' и определяется равенством | |
| − | |||
| − | \ | ||
| − | |||
| − | |||
| − | ''' | ||
Версия 00:55, 10 октября 2023
Определения
Рассмотрим одномерное уравнение Ньютона \begin{gather*} m \ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0 \end{gather*} Это уравнение эквивалентно системе \begin{equation} \label{eq1} \begin{cases} \dot{x} = p,\\ \dot{p} = f(x), \quad f(x) = \frac{1}{m}F(x). \end{cases} \end{equation} Определение 1. Функция $$U(x)$$ называется потенциалом системы, если $$U'(x)=-f(x)$$
Далее предположим, что $$f(x)$$ — непрерывная функция. Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной.
Определение 2. Первый интеграл системы (\ref{eq1}) называется гамильтонианом и определяется равенством
