Гамильтоновы системы

Определения

Рассмотрим одномерное уравнение Ньютона \begin{gather*} m \ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0 \end{gather*} Это уравнение эквивалентно системе \begin{equation} \label{eq1} \begin{cases} \dot{x} = p,\\ \dot{p} = f(x), \quad f(x) = \frac{1}{m}F(x). \end{cases} \end{equation} Определение 1. Функция $$U(x)$$ называется потенциалом системы, если $$U'(x)=-f(x)$$

Далее предположим, что $$f(x)$$ — непрерывная функция. Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной.

Определение 2. Первый интеграл системы (\ref{eq1}) называется гамильтонианом и определяется равенством \begin{equation} \label{eq2} H(x, p) = \frac{p^2}{2} + U(x) = const = C \end{equation}