Гамильтоновы системы: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Timur23 (обсуждение | вклад) |
Timur23 (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 14: | Строка 14: | ||
'''Определение 1.''' | '''Определение 1.''' | ||
Функция $$U(x)$$ называется '''потенциалом системы''', если $$U'(x)=-f(x)$$ | Функция $$U(x)$$ называется '''потенциалом системы''', если $$U'(x)=-f(x)$$ | ||
| − | + | <br> | |
Далее предположим, что $$f(x)$$ — непрерывная функция. Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. | Далее предположим, что $$f(x)$$ — непрерывная функция. Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. | ||
| − | + | <br> | |
'''Определение 2.''' | '''Определение 2.''' | ||
Первый интеграл системы (\ref{eq1}) называется '''гамильтонианом''' и определяется равенством | Первый интеграл системы (\ref{eq1}) называется '''гамильтонианом''' и определяется равенством | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{eq2} | \label{eq2} | ||
| − | H(x, p) = \frac{p^2}{2} + U(x) = const = C | + | H(x, p) = \frac{p^2}{2} + U(x) = const = C. |
\end{equation} | \end{equation} | ||
Версия 00:59, 10 октября 2023
Определения
Рассмотрим одномерное уравнение Ньютона
\begin{gather*}
m \ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0
\end{gather*}
Это уравнение эквивалентно системе
\begin{equation}
\label{eq1}
\begin{cases}
\dot{x} = p,\\
\dot{p} = f(x), \quad f(x) = \frac{1}{m}F(x).
\end{cases}
\end{equation}
Определение 1.
Функция $$U(x)$$ называется потенциалом системы, если $$U'(x)=-f(x)$$
Далее предположим, что $$f(x)$$ — непрерывная функция. Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной.
Определение 2.
Первый интеграл системы (\ref{eq1}) называется гамильтонианом и определяется равенством
\begin{equation}
\label{eq2}
H(x, p) = \frac{p^2}{2} + U(x) = const = C.
\end{equation}
