Гамильтоновы системы: различия между версиями
Timur23 (обсуждение | вклад) |
Timur23 (обсуждение | вклад) |
||
Строка 13: | Строка 13: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
'''Определение 1.''' | '''Определение 1.''' | ||
− | Функция $$U(x)$$ называется '''потенциалом системы''', если $$U'(x)=-f(x)$$ | + | Функция $$U(x)$$ называется '''потенциалом системы''', если $$U'(x)=-f(x)$$. |
− | + | ||
Далее предположим, что $$f(x)$$ — непрерывная функция. Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. | Далее предположим, что $$f(x)$$ — непрерывная функция. Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. | ||
− | + | ||
'''Определение 2.''' | '''Определение 2.''' | ||
Первый интеграл системы (\ref{eq1}) называется '''гамильтонианом''' и определяется равенством | Первый интеграл системы (\ref{eq1}) называется '''гамильтонианом''' и определяется равенством | ||
Строка 23: | Строка 23: | ||
H(x, p) = \frac{p^2}{2} + U(x) = const = C. | H(x, p) = \frac{p^2}{2} + U(x) = const = C. | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
+ | |||
+ | Действительно, непосредственно проверяется, что | ||
+ | \begin{gather*} | ||
+ | \frac{dH(x, p)}{dt} = \frac{\partial H}{x}\dot{x} + \frac{\partial H}{p}\dot{p} = -f(x)p + pf(x) \ | ||
+ | \end{gather*} |
Версия 01:07, 10 октября 2023
Определения
Рассмотрим одномерное уравнение Ньютона \begin{gather*} m \ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0 \end{gather*} Это уравнение эквивалентно системе \begin{equation} \label{eq1} \begin{cases} \dot{x} = p,\\ \dot{p} = f(x), \quad f(x) = \frac{1}{m}F(x). \end{cases} \end{equation} Определение 1. Функция $$U(x)$$ называется потенциалом системы, если $$U'(x)=-f(x)$$.
Далее предположим, что $$f(x)$$ — непрерывная функция. Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной.
Определение 2. Первый интеграл системы (\ref{eq1}) называется гамильтонианом и определяется равенством \begin{equation} \label{eq2} H(x, p) = \frac{p^2}{2} + U(x) = const = C. \end{equation}
Действительно, непосредственно проверяется, что \begin{gather*} \frac{dH(x, p)}{dt} = \frac{\partial H}{x}\dot{x} + \frac{\partial H}{p}\dot{p} = -f(x)p + pf(x) \ \end{gather*}