Гамильтоновы системы: различия между версиями
Timur23 (обсуждение | вклад) |
Timur23 (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
== Определения == | == Определения == | ||
− | Рассмотрим | + | '''Определение 1.''' |
+ | Функция $$V(x_1, x_2, ..., x_n)$$ называется '''первым интегралом''', если $$V(x_1, x_2, ..., x_n) = const$$. | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим пространственное уравнение Ньютона | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
− | m \ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0,\quad x, x_0, p_0 \in \mathbb{R}^ | + | m \ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0,\quad x, x_0, p_0 \in \mathbb{R}^3, F(x) = (f_1(x), f_2(x), f_3(x)). |
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
Это уравнение эквивалентно системе | Это уравнение эквивалентно системе | ||
Строка 11: | Строка 14: | ||
\dot{p}_i = f_i(x), \quad f_i(x) = \frac{1}{m}F_i(x). | \dot{p}_i = f_i(x), \quad f_i(x) = \frac{1}{m}F_i(x). | ||
\end{cases}, \quad | \end{cases}, \quad | ||
− | i = \overline{1, | + | i = \overline{1, 3} |
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | '''Определение | + | '''Определение 2.''' |
Функция $$U(x)$$ называется '''потенциалом системы''', если $$\frac{dU(x)}{dx_i}=-f_i(x)$$. | Функция $$U(x)$$ называется '''потенциалом системы''', если $$\frac{dU(x)}{dx_i}=-f_i(x)$$. | ||
− | Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. Далее предположим, что $$f_i(x)$$ — непрерывная функция, $$i = \overline{1, | + | Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. Далее предположим, что $$f_i(x)$$ — непрерывная функция, $$i = \overline{1, 3}$$. |
− | '''Определение | + | '''Определение 3.''' |
Первый интеграл системы (\ref{eq1}) называется '''гамильтонианом''' и определяется равенством | Первый интеграл системы (\ref{eq1}) называется '''гамильтонианом''' и определяется равенством | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{eq2} | \label{eq2} | ||
− | H(x, p) = \sum_{i=1}^{ | + | H(x, p) = \sum_{i=1}^{3} \frac{p_i^2}{2} + U(x) = const = C. |
\end{equation} | \end{equation} | ||
Действительно, непосредственно проверяется, что | Действительно, непосредственно проверяется, что | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
− | \frac{dH(x, p)}{dt} = \sum_{i=1}^{ | + | \frac{dH(x, p)}{dt} = \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial H}{\partial p_i}\dot{p}_i + \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial H}{\partial x_i}\dot{x}_i = |
− | \sum_{i=1}^{ | + | \sum_{i=1}^{3} p_i f_i(x) + \sum_{i=1}^{3} -f_i(x) p_i \equiv 0 |
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
Строка 34: | Строка 37: | ||
Для того, чтобы отыскать значение постоянной $$C$$, которая отвечает движению с начальными данными $$x(0) = x_0, p(0) = p_0$$ достаточно вычислить | Для того, чтобы отыскать значение постоянной $$C$$, которая отвечает движению с начальными данными $$x(0) = x_0, p(0) = p_0$$ достаточно вычислить | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
− | H(x_0, p_0) = \sum_{i=1}^{ | + | H(x_0, p_0) = \sum_{i=1}^{3} \frac{p_{0, i}^2}{2} + U(x_0). |
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
− | '''Определение | + | '''Определение 4.''' |
Пусть $$x, p \in \mathbb{R}^n$$. '''Гамильтоновой системой''' называется система вида | Пусть $$x, p \in \mathbb{R}^n$$. '''Гамильтоновой системой''' называется система вида | ||
\begin{equation} | \begin{equation} |
Версия 23:48, 11 октября 2023
Определения
Определение 1. Функция $$V(x_1, x_2, ..., x_n)$$ называется первым интегралом, если $$V(x_1, x_2, ..., x_n) = const$$.
Рассмотрим пространственное уравнение Ньютона \begin{gather*} m \ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0,\quad x, x_0, p_0 \in \mathbb{R}^3, F(x) = (f_1(x), f_2(x), f_3(x)). \end{gather*} Это уравнение эквивалентно системе \begin{equation} \label{eq1} \begin{cases} \dot{x}_i = p_i,\\ \dot{p}_i = f_i(x), \quad f_i(x) = \frac{1}{m}F_i(x). \end{cases}, \quad i = \overline{1, 3} \end{equation} Определение 2. Функция $$U(x)$$ называется потенциалом системы, если $$\frac{dU(x)}{dx_i}=-f_i(x)$$.
Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. Далее предположим, что $$f_i(x)$$ — непрерывная функция, $$i = \overline{1, 3}$$.
Определение 3. Первый интеграл системы (\ref{eq1}) называется гамильтонианом и определяется равенством \begin{equation} \label{eq2} H(x, p) = \sum_{i=1}^{3} \frac{p_i^2}{2} + U(x) = const = C. \end{equation}
Действительно, непосредственно проверяется, что \begin{gather*} \frac{dH(x, p)}{dt} = \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial H}{\partial p_i}\dot{p}_i + \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial H}{\partial x_i}\dot{x}_i = \sum_{i=1}^{3} p_i f_i(x) + \sum_{i=1}^{3} -f_i(x) p_i \equiv 0 \end{gather*}
Гамильтониан задает полную энергию системы (\ref{eq1}), которая остается неизменной в течение всего времени эволюции системы. Для того, чтобы отыскать значение постоянной $$C$$, которая отвечает движению с начальными данными $$x(0) = x_0, p(0) = p_0$$ достаточно вычислить \begin{gather*} H(x_0, p_0) = \sum_{i=1}^{3} \frac{p_{0, i}^2}{2} + U(x_0). \end{gather*}
Определение 4. Пусть $$x, p \in \mathbb{R}^n$$. Гамильтоновой системой называется система вида \begin{equation} \label{eq3} \begin{cases} \frac{dx_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}\\ \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial x_i} \end{cases}, \quad i = \overline{1, n} \end{equation}
Список литературы
- Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
- Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.