Гамильтоновы системы

Определения

Определение 1. Функция $$V(x_1, x_2,\dots, x_n)$$ называется первым интегралом, если $$V(x_1, x_2,\dots, x_n) = const$$ или если производная в силу системы функции $$V(x_1, x_2,\dots, x_n)$$ равна нулю.

Рассмотрим пространственное уравнение Ньютона (x \in \mathbb{R}^3). \begin{gather*} m \ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0, \quad F(x) = \big(f_1(x), f_2(x), f_3(x)\big). \end{gather*} Это уравнение эквивалентно системе \begin{equation} \label{eq1} \begin{cases} \dot{x}_i = p_i,\\ \dot{p}_i = f_i(x), \quad f_i(x) = \frac{1}{m}F_i(x). \end{cases}, \quad i = \overline{1, 3} \end{equation} Определение 2. Система потенциальна, если существует функция $$U(x)$$, называемая потенциалом системы такая, что \begin{gather*} \frac{dU(x)}{dx_i}=-f_i(x), \quad i = \overline{1, 3}. \end{gather*}

Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. Далее предположим, что $$f_i(x)$$ — непрерывная функция, $$i = \overline{1, 3}$$.

Определение 3. Первый интеграл системы (\ref{eq1}) называется гамильтонианом и определяется равенством \begin{equation} \label{eq2} H(x, p) = \sum_{i=1}^{3} \frac{p_i^2}{2} + U(x) = const = C. \end{equation}

Действительно, непосредственно проверяется, что \begin{gather*} \frac{dH(x, p)}{dt} = \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial H}{\partial p_i}\dot{p}_i + \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial H}{\partial x_i}\dot{x}_i = \sum_{i=1}^{3} p_i f_i(x) + \sum_{i=1}^{3} -f_i(x) p_i \equiv 0 \end{gather*}

Гамильтониан задает полную энергию системы (\ref{eq1}), которая остается неизменной в течение всего времени эволюции системы. Для того, чтобы отыскать значение постоянной $$C$$, которая отвечает движению с начальными данными $$x(0) = x_0, p(0) = p_0$$ достаточно вычислить \begin{gather*} H(x_0, p_0) = \sum_{i=1}^{3} \frac{p_{0, i}^2}{2} + U(x_0). \end{gather*}

Определение 4. Пусть $$x, p \in \mathbb{R}^n$$. Гамильтоновой системой называется система вида \begin{equation} \label{eq3} \begin{cases} \frac{dx_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \\ \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial x_i} \end{cases}, \quad i = \overline{1, n} \end{equation}

Примеры

Пример 1

Рассмотрим следующий пример гамильтоновой системы: \begin{gather*} \frac{dx}{dt} = p, \\ \frac{dp}{dt} = f(x) \end{gather*}

Список литературы

1. Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
2. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.