Гамильтоновы системы: различия между версиями
Timur23 (обсуждение | вклад) |
Timur23 (обсуждение | вклад) |
||
Строка 2: | Строка 2: | ||
== Первый интеграл системы == | == Первый интеграл системы == | ||
=== Определение === | === Определение === | ||
+ | Пусть $$x \in \mathbb{R}^n$$. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \label{s1} | ||
+ | \dot{x}_i = f_i(x_1, x_2, \dots, x_n), \quad | ||
+ | i = \overline{1, n}. | ||
+ | \end{equation} | ||
'''Определение 1.''' | '''Определение 1.''' | ||
− | + | Пусть $$V(x_1, x_2,\dots, x_n)$$ — некоторая функция. Функция | |
− | |||
− | |||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
− | + | \dot{V}(x_1, x_2,\dots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_i} f_i(x) | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
+ | называется '''производной функции $$V(x_1, x_2,\dots, x_n)$$ в силу системы (\ref{s1})'''. | ||
+ | |||
+ | '''Определение 2.''' | ||
+ | Функция $$V(x_1, x_2,\dots, x_n)$$ называется '''первым интегралом системы (\ref{s1})''', если $$V(x_1, x_2,\dots, x_n) = \mathrm{const}$$ или если её производная в силу системы (\ref{s1}) равна нулю. | ||
− | + | Уравнение для первого интеграла системы (\ref{s1}) имеет вид: | |
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
\frac{dx_1}{f_1(x_1, x_2)} = \frac{dx_2}{f_2(x_1, x_2)} = \dots = \frac{dx_n}{f_n(x_1, x_2)}. | \frac{dx_1}{f_1(x_1, x_2)} = \frac{dx_2}{f_2(x_1, x_2)} = \dots = \frac{dx_n}{f_n(x_1, x_2)}. | ||
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
− | + | Отсюда можем получить $$(n-1)$$ функционально независимых первых интегралов системы (\ref{s1}). | |
+ | |||
+ | С точки зрения физического смысла, первый интеграл системы задает различные законы сохранения (энергии, импульса и т.п.). | ||
===Пример=== | ===Пример=== | ||
+ | Фазовые траектории системы обязаны лежать на линиях уровня первого интеграла. Убедимся в этом на примере. | ||
Рассмотрим систему | Рассмотрим систему | ||
Строка 39: | Строка 39: | ||
Найдем первый интеграл этой системы: | Найдем первый интеграл этой системы: | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
− | - \frac{dx_1}{x_2} = \frac{dx_2}{x_1} | + | - \frac{dx_1}{x_2} = \frac{dx_2}{x_1}, |
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
− | + | - x_1^2 = x_2^2 = \mathrm{const}. | |
− | |||
− | |||
− | - x_1^2 = x_2^2 = const | ||
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
Откуда | Откуда | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
− | V(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2 | + | V(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2. |
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
Найдем производную в силу системы функции $$V(x_1, x_2)$$: | Найдем производную в силу системы функции $$V(x_1, x_2)$$: | ||
Строка 58: | Строка 55: | ||
==Гамильтоновы системы== | ==Гамильтоновы системы== | ||
− | Рассмотрим уравнение Ньютона ( | + | Рассмотрим уравнение Ньютона ($$x \in \mathbb{R}^n$$): |
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
m \ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0, \quad F(x) = \big(f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x)\big). | m \ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0, \quad F(x) = \big(f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x)\big). | ||
Строка 67: | Строка 64: | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
\dot{x}_i = p_i,\\ | \dot{x}_i = p_i,\\ | ||
− | \dot{p}_i | + | \dot{p}_i = \frac{1}{m}F_i(x). |
\end{cases}, \quad | \end{cases}, \quad | ||
− | i = \overline{1, n} | + | i = \overline{1, n}. |
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | '''Определение | + | '''Определение 3.''' |
Система '''потенциальна''', если существует функция $$U(x)$$, называемая '''потенциалом системы''' такая, что | Система '''потенциальна''', если существует функция $$U(x)$$, называемая '''потенциалом системы''' такая, что | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
Строка 77: | Строка 74: | ||
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
− | Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. Далее предположим, что $$f_i(x)$$ — непрерывная функция, $$i = \overline{1, n}$$. | + | Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. Далее предположим, что $$f_i(x)$$ — [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F непрерывная функция], $$i = \overline{1, n}$$. |
− | '''Определение | + | '''Определение 4.''' |
Первый интеграл системы (\ref{eq1}) называется '''гамильтонианом''' и определяется равенством | Первый интеграл системы (\ref{eq1}) называется '''гамильтонианом''' и определяется равенством | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{eq2} | \label{eq2} | ||
− | H(x, p) = \sum_{i=1}^{n} \frac{p_i^2}{2} + U(x) = const = C. | + | H(x, p) = \sum_{i=1}^{n} \frac{p_i^2}{2} + U(x) = \mathrm{const} = C. |
\end{equation} | \end{equation} | ||
Строка 89: | Строка 86: | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
\frac{dH(x, p)}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial p_i}\dot{p}_i + \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial x_i}\dot{x}_i = | \frac{dH(x, p)}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial p_i}\dot{p}_i + \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial x_i}\dot{x}_i = | ||
− | \sum_{i=1}^{n} p_i f_i(x) + \sum_{i=1}^{n} -f_i(x) p_i \equiv 0 | + | \sum_{i=1}^{n} p_i f_i(x) + \sum_{i=1}^{n} -f_i(x) p_i \equiv 0. |
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
Строка 98: | Строка 95: | ||
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
− | '''Определение | + | '''Определение 5.''' |
Пусть $$x, p \in \mathbb{R}^n$$. '''Гамильтоновой системой''' называется система вида | Пусть $$x, p \in \mathbb{R}^n$$. '''Гамильтоновой системой''' называется система вида | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{eq3} | \label{eq3} | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
− | \frac{dx_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \\ | + | \displaystyle \frac{dx_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \\ |
− | \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial x_i} | + | \displaystyle \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial x_i} |
\end{cases}, \quad | \end{cases}, \quad | ||
− | i = \overline{1, n} | + | i = \overline{1, n}. |
\end{equation} | \end{equation} | ||
Строка 112: | Строка 109: | ||
===Пример 1=== | ===Пример 1=== | ||
− | Рассмотрим | + | Рассмотрим уравнение одномерного движения частицы в потенциальном поле: |
+ | \begin{gather*} | ||
+ | \ddot{x} = f(x). | ||
+ | \end{gather*} | ||
+ | Перепишем это уравнение в виде системы дифференциальных уравнений: | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
Строка 121: | Строка 122: | ||
Эта система потенциальна, и ее потенциал положим равным | Эта система потенциальна, и ее потенциал положим равным | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
− | U(x) = - \int_{t_0}^x f(t) dt | + | U(x) = - \int_{t_0}^x f(t) dt. |
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
Тогда гамильтониан системы будет иметь вид: | Тогда гамильтониан системы будет иметь вид: | ||
Строка 128: | Строка 129: | ||
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
− | Выпишем уравнение для поиска траекторий системы. Пусть $$(x_0, p_0)$$ — начальные значения для переменных $$(x, p)$$. Так как $$H(x, p) = const$$ вдоль траектории системы, то уравнение для поиска траектории системы имеет следующий вид: | + | Выпишем уравнение для поиска траекторий системы. Пусть $$(x_0, p_0)$$ — начальные значения для переменных $$(x, p)$$. Так как $$H(x, p) = \mathrm{const}$$ вдоль траектории системы, то уравнение для поиска траектории системы имеет следующий вид: |
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
H(x, p) = H(x_0, p_0) = H_0. | H(x, p) = H(x_0, p_0) = H_0. | ||
Строка 141: | Строка 142: | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
− | p = 0, \\ | + | \displaystyle p = 0, \\ |
− | f(x) = -\frac{dU(x)}{dx} = 0. | + | \displaystyle f(x) = -\frac{dU(x)}{dx} = 0. |
\end{cases} | \end{cases} | ||
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
Строка 148: | Строка 149: | ||
Начальный уровень энергии $$H_0$$ задает траекторию системы: | Начальный уровень энергии $$H_0$$ задает траекторию системы: | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
− | U(x) + \frac{p^2}{2} = H_0 | + | U(x) + \frac{p^2}{2} = H_0, |
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{eq4} | \label{eq4} | ||
− | p = \pm \sqrt{2\big(H_0 - U(x)\big)} | + | p = \pm \sqrt{2\big(H_0 - U(x)\big)}. |
\end{equation} | \end{equation} | ||
Уравнение (\ref{eq4}) задает траекторию движения в координатах $$(x, p)$$ для заданного начального значения энергии $$H_0$$. | Уравнение (\ref{eq4}) задает траекторию движения в координатах $$(x, p)$$ для заданного начального значения энергии $$H_0$$. | ||
Строка 159: | Строка 160: | ||
Рассмотрим колебания пружинного маятника, которые задаются следующим уравнением: | Рассмотрим колебания пружинного маятника, которые задаются следующим уравнением: | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
− | \ddot{x} = -kx | + | \ddot{x} = -kx. |
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
− | Перепишем это уравнение в виде системы дифференциальных | + | Перепишем это уравнение в виде системы дифференциальных уравнений: |
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
Строка 170: | Строка 171: | ||
Аналогично Примеру 1 получаем: | Аналогично Примеру 1 получаем: | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
− | U(x) = \int_{t_0}^x kt dt = \frac{kx^2}{2} | + | U(x) = \int_{t_0}^x kt dt = \frac{kx^2}{2}, |
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
− | H(x, p) = U(x) + \frac{p^2}{2} = \frac{kx^2}{2} + \frac{p^2}{2} | + | H(x, p) = U(x) + \frac{p^2}{2} = \frac{kx^2}{2} + \frac{p^2}{2}, |
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
− | p = \pm \sqrt{2\big(H_0 - \frac{kx^2}{2}\big)} | + | p = \pm \sqrt{2\big(H_0 - \frac{kx^2}{2}\big)}. |
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
Строка 182: | Строка 183: | ||
Рассмотрим уравнение | Рассмотрим уравнение | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
− | \ddot{x} = -k \sin x | + | \ddot{x} = -k \sin x. |
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
− | Перепишем это уравнение в виде системы дифференциальных | + | Перепишем это уравнение в виде системы дифференциальных уравнений: |
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
Строка 193: | Строка 194: | ||
Аналогично Примеру 1 получаем: | Аналогично Примеру 1 получаем: | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
− | U(x) = \int_{t_0}^x k \sin t dt = - k \cos x | + | U(x) = \int_{t_0}^x k \sin t dt = - k \cos x, |
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
− | H(x, p) = U(x) + \frac{p^2}{2} = - k \cos x + \frac{p^2}{2} | + | H(x, p) = U(x) + \frac{p^2}{2} = - k \cos x + \frac{p^2}{2}, |
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
− | p = \pm \sqrt{2\big(H_0 + k \cos x\big)} | + | p = \pm \sqrt{2\big(H_0 + k \cos x\big)}. |
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
== Список литературы == | == Список литературы == | ||
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023. | # Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023. | ||
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011. | # Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011. |
Версия 22:42, 28 ноября 2023
Содержание
Первый интеграл системы
Определение
Пусть $$x \in \mathbb{R}^n$$. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений: \begin{equation} \label{s1} \dot{x}_i = f_i(x_1, x_2, \dots, x_n), \quad i = \overline{1, n}. \end{equation} Определение 1. Пусть $$V(x_1, x_2,\dots, x_n)$$ — некоторая функция. Функция \begin{gather*} \dot{V}(x_1, x_2,\dots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_i} f_i(x) \end{gather*} называется производной функции $$V(x_1, x_2,\dots, x_n)$$ в силу системы (\ref{s1}).
Определение 2. Функция $$V(x_1, x_2,\dots, x_n)$$ называется первым интегралом системы (\ref{s1}), если $$V(x_1, x_2,\dots, x_n) = \mathrm{const}$$ или если её производная в силу системы (\ref{s1}) равна нулю.
Уравнение для первого интеграла системы (\ref{s1}) имеет вид: \begin{gather*} \frac{dx_1}{f_1(x_1, x_2)} = \frac{dx_2}{f_2(x_1, x_2)} = \dots = \frac{dx_n}{f_n(x_1, x_2)}. \end{gather*} Отсюда можем получить $$(n-1)$$ функционально независимых первых интегралов системы (\ref{s1}).
С точки зрения физического смысла, первый интеграл системы задает различные законы сохранения (энергии, импульса и т.п.).
Пример
Фазовые траектории системы обязаны лежать на линиях уровня первого интеграла. Убедимся в этом на примере.
Рассмотрим систему \begin{gather*} \begin{cases} \dot{x}_1 = - x_2,\\ \dot{x}_2 = x_1. \end{cases} \end{gather*}
Найдем первый интеграл этой системы: \begin{gather*} - \frac{dx_1}{x_2} = \frac{dx_2}{x_1}, \end{gather*} \begin{gather*} - x_1^2 = x_2^2 = \mathrm{const}. \end{gather*} Откуда \begin{gather*} V(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2. \end{gather*} Найдем производную в силу системы функции $$V(x_1, x_2)$$: \begin{gather*} \dot{V}(x_1, x_2) = 2 x_1 \dot{x}_1 + 2 x_2 \dot{x}_2 = - 2 x_1 x_2 + 2 x_2 x_1 \equiv 0. \end{gather*} Убедились в том, что найденная функция $$V(x_1, x_2)$$ является первым интегралом рассматриваемой системы.
Гамильтоновы системы
Рассмотрим уравнение Ньютона ($$x \in \mathbb{R}^n$$): \begin{gather*} m \ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0, \quad F(x) = \big(f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x)\big). \end{gather*} Это уравнение эквивалентно системе \begin{equation} \label{eq1} \begin{cases} \dot{x}_i = p_i,\\ \dot{p}_i = \frac{1}{m}F_i(x). \end{cases}, \quad i = \overline{1, n}. \end{equation} Определение 3. Система потенциальна, если существует функция $$U(x)$$, называемая потенциалом системы такая, что \begin{gather*} \frac{dU(x)}{dx_i}=-f_i(x), \quad i = \overline{1, n}. \end{gather*}
Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. Далее предположим, что $$f_i(x)$$ — непрерывная функция, $$i = \overline{1, n}$$.
Определение 4. Первый интеграл системы (\ref{eq1}) называется гамильтонианом и определяется равенством \begin{equation} \label{eq2} H(x, p) = \sum_{i=1}^{n} \frac{p_i^2}{2} + U(x) = \mathrm{const} = C. \end{equation}
Действительно, непосредственно проверяется, что \begin{gather*} \frac{dH(x, p)}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial p_i}\dot{p}_i + \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial x_i}\dot{x}_i = \sum_{i=1}^{n} p_i f_i(x) + \sum_{i=1}^{n} -f_i(x) p_i \equiv 0. \end{gather*}
Гамильтониан задает полную энергию системы (\ref{eq1}), которая остается неизменной в течение всего времени эволюции системы. Для того, чтобы отыскать значение постоянной $$C$$, которая отвечает движению с начальными данными $$x(0) = x_0, p(0) = p_0$$ достаточно вычислить \begin{gather*} H(x_0, p_0) = \sum_{i=1}^{n} \frac{p_{0, i}^2}{2} + U(x_0). \end{gather*}
Определение 5. Пусть $$x, p \in \mathbb{R}^n$$. Гамильтоновой системой называется система вида \begin{equation} \label{eq3} \begin{cases} \displaystyle \frac{dx_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \\ \displaystyle \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial x_i} \end{cases}, \quad i = \overline{1, n}. \end{equation}
Примеры
Пример 1
Рассмотрим уравнение одномерного движения частицы в потенциальном поле: \begin{gather*} \ddot{x} = f(x). \end{gather*} Перепишем это уравнение в виде системы дифференциальных уравнений: \begin{gather*} \begin{cases} \dot{x} = p, \\ \dot{p} = f(x). \end{cases} \end{gather*} Эта система потенциальна, и ее потенциал положим равным \begin{gather*} U(x) = - \int_{t_0}^x f(t) dt. \end{gather*} Тогда гамильтониан системы будет иметь вид: \begin{gather*} H(x, p) = U(x) + \frac{p^2}{2} = \int_{t_0}^x f(t) dt + \frac{p^2}{2}. \end{gather*}
Выпишем уравнение для поиска траекторий системы. Пусть $$(x_0, p_0)$$ — начальные значения для переменных $$(x, p)$$. Так как $$H(x, p) = \mathrm{const}$$ вдоль траектории системы, то уравнение для поиска траектории системы имеет следующий вид: \begin{gather*} H(x, p) = H(x_0, p_0) = H_0. \end{gather*} Или более подробно: \begin{gather*} U(x) + \frac{p^2}{2} = U(x_0)+ \frac{p_0^2}{2}. \end{gather*} Заметим, что если $$(x, p)$$ является решением этого уравнения, то и $$(x, -p)$$ будет решением этого уравнения.
Построим фазовые траектории системы. Неподвижные точки системы задаются следующей системой уравнений: \begin{gather*} \begin{cases} \displaystyle p = 0, \\ \displaystyle f(x) = -\frac{dU(x)}{dx} = 0. \end{cases} \end{gather*}
Начальный уровень энергии $$H_0$$ задает траекторию системы: \begin{gather*} U(x) + \frac{p^2}{2} = H_0, \end{gather*} \begin{equation} \label{eq4} p = \pm \sqrt{2\big(H_0 - U(x)\big)}. \end{equation} Уравнение (\ref{eq4}) задает траекторию движения в координатах $$(x, p)$$ для заданного начального значения энергии $$H_0$$.
Пример 2
Рассмотрим колебания пружинного маятника, которые задаются следующим уравнением: \begin{gather*} \ddot{x} = -kx. \end{gather*} Перепишем это уравнение в виде системы дифференциальных уравнений: \begin{gather*} \begin{cases} \dot{x} = p, \\ \dot{p} = -kx. \end{cases} \end{gather*} Аналогично Примеру 1 получаем: \begin{gather*} U(x) = \int_{t_0}^x kt dt = \frac{kx^2}{2}, \end{gather*} \begin{gather*} H(x, p) = U(x) + \frac{p^2}{2} = \frac{kx^2}{2} + \frac{p^2}{2}, \end{gather*} \begin{gather*} p = \pm \sqrt{2\big(H_0 - \frac{kx^2}{2}\big)}. \end{gather*}
Пример 3
Рассмотрим уравнение \begin{gather*} \ddot{x} = -k \sin x. \end{gather*} Перепишем это уравнение в виде системы дифференциальных уравнений: \begin{gather*} \begin{cases} \dot{x} = p, \\ \dot{p} = -k \sin x. \end{cases} \end{gather*} Аналогично Примеру 1 получаем: \begin{gather*} U(x) = \int_{t_0}^x k \sin t dt = - k \cos x, \end{gather*} \begin{gather*} H(x, p) = U(x) + \frac{p^2}{2} = - k \cos x + \frac{p^2}{2}, \end{gather*} \begin{gather*} p = \pm \sqrt{2\big(H_0 + k \cos x\big)}. \end{gather*}
Список литературы
- Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
- Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.