Гамильтоновы системы: различия между версиями
Timur23 (обсуждение | вклад) |
Timur23 (обсуждение | вклад) |
||
Строка 30: | Строка 30: | ||
Рассмотрим систему | Рассмотрим систему | ||
− | \begin{ | + | \begin{equation} |
+ | \label{p1} | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
\dot{x}_1 = - x_2,\\ | \dot{x}_1 = - x_2,\\ | ||
\dot{x}_2 = x_1. | \dot{x}_2 = x_1. | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
− | \end{ | + | \end{equation} |
Найдем первый интеграл этой системы: | Найдем первый интеграл этой системы: | ||
Строка 50: | Строка 51: | ||
Найдем производную в силу системы функции $$V(x_1, x_2)$$: | Найдем производную в силу системы функции $$V(x_1, x_2)$$: | ||
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
− | \dot{V}(x_1, x_2) | + | \dot{V}(x_1, x_2) = - 2 x_1 x_2 + 2 x_2 x_1 \equiv 0. |
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
Убедились в том, что найденная функция $$V(x_1, x_2)$$ является первым интегралом рассматриваемой системы. | Убедились в том, что найденная функция $$V(x_1, x_2)$$ является первым интегралом рассматриваемой системы. | ||
+ | |||
+ | Общее решение системы (\ref{p1}): | ||
+ | \begin{gather*} | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | x_1(t) = C_1 \cos t + C_2 \sin t,\\ | ||
+ | x_2(t) = C_2 \cos t - C_1 \sin t. | ||
+ | \end{cases} | ||
+ | \end{gather*} | ||
+ | На графиках отчетливо видно, что фазовые траектории системы (\ref{p1}) лежат на линиях уровня найденного первого интеграла. | ||
+ | [[Файл:fp.eps|безрамки|слева|Фазовый портрет системы]] | ||
==Гамильтоновы системы== | ==Гамильтоновы системы== | ||
Строка 158: | Строка 169: | ||
===Пример 2=== | ===Пример 2=== | ||
− | Рассмотрим колебания пружинного маятника, которые задаются следующим уравнением: | + | Рассмотрим колебания [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BC%D0%B0%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA пружинного маятника], которые задаются следующим уравнением: |
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
\ddot{x} = -kx. | \ddot{x} = -kx. | ||
Строка 181: | Строка 192: | ||
===Пример 3=== | ===Пример 3=== | ||
− | Рассмотрим уравнение | + | Рассмотрим уравнение [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%B0%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA математического маятника]. |
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
\ddot{x} = -k \sin x. | \ddot{x} = -k \sin x. |
Версия 01:04, 29 ноября 2023
Содержание
Первый интеграл системы
Определение
Пусть $$x \in \mathbb{R}^n$$. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений: \begin{equation} \label{s1} \dot{x}_i = f_i(x_1, x_2, \dots, x_n), \quad i = \overline{1, n}. \end{equation} Определение 1. Пусть $$V(x_1, x_2,\dots, x_n)$$ — некоторая функция. Функция \begin{gather*} \dot{V}(x_1, x_2,\dots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_i} f_i(x) \end{gather*} называется производной функции $$V(x_1, x_2,\dots, x_n)$$ в силу системы (\ref{s1}).
Определение 2. Функция $$V(x_1, x_2,\dots, x_n)$$ называется первым интегралом системы (\ref{s1}), если $$V(x_1, x_2,\dots, x_n) = \mathrm{const}$$ или если её производная в силу системы (\ref{s1}) равна нулю.
Уравнение для первого интеграла системы (\ref{s1}) имеет вид: \begin{gather*} \frac{dx_1}{f_1(x_1, x_2)} = \frac{dx_2}{f_2(x_1, x_2)} = \dots = \frac{dx_n}{f_n(x_1, x_2)}. \end{gather*} Отсюда можем получить $$(n-1)$$ функционально независимых первых интегралов системы (\ref{s1}).
С точки зрения физического смысла, первый интеграл системы задает различные законы сохранения (энергии, импульса и т.п.).
Пример
Фазовые траектории системы обязаны лежать на линиях уровня первого интеграла. Убедимся в этом на примере.
Рассмотрим систему \begin{equation} \label{p1} \begin{cases} \dot{x}_1 = - x_2,\\ \dot{x}_2 = x_1. \end{cases} \end{equation}
Найдем первый интеграл этой системы: \begin{gather*} - \frac{dx_1}{x_2} = \frac{dx_2}{x_1}, \end{gather*} \begin{gather*} - x_1^2 = x_2^2 = \mathrm{const}. \end{gather*} Откуда \begin{gather*} V(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2. \end{gather*} Найдем производную в силу системы функции $$V(x_1, x_2)$$: \begin{gather*} \dot{V}(x_1, x_2) = - 2 x_1 x_2 + 2 x_2 x_1 \equiv 0. \end{gather*} Убедились в том, что найденная функция $$V(x_1, x_2)$$ является первым интегралом рассматриваемой системы.
Общее решение системы (\ref{p1}): \begin{gather*} \begin{cases} x_1(t) = C_1 \cos t + C_2 \sin t,\\ x_2(t) = C_2 \cos t - C_1 \sin t. \end{cases} \end{gather*} На графиках отчетливо видно, что фазовые траектории системы (\ref{p1}) лежат на линиях уровня найденного первого интеграла.
Гамильтоновы системы
Рассмотрим уравнение Ньютона ($$x \in \mathbb{R}^n$$): \begin{gather*} m \ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0, \quad F(x) = \big(f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x)\big). \end{gather*} Это уравнение эквивалентно системе \begin{equation} \label{eq1} \begin{cases} \dot{x}_i = p_i,\\ \dot{p}_i = \frac{1}{m}F_i(x). \end{cases}, \quad i = \overline{1, n}. \end{equation} Определение 3. Система потенциальна, если существует функция $$U(x)$$, называемая потенциалом системы такая, что \begin{gather*} \frac{dU(x)}{dx_i}=-f_i(x), \quad i = \overline{1, n}. \end{gather*}
Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. Далее предположим, что $$f_i(x)$$ — непрерывная функция, $$i = \overline{1, n}$$.
Определение 4. Первый интеграл системы (\ref{eq1}) называется гамильтонианом и определяется равенством \begin{equation} \label{eq2} H(x, p) = \sum_{i=1}^{n} \frac{p_i^2}{2} + U(x) = \mathrm{const} = C. \end{equation}
Действительно, непосредственно проверяется, что \begin{gather*} \frac{dH(x, p)}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial p_i}\dot{p}_i + \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial x_i}\dot{x}_i = \sum_{i=1}^{n} p_i f_i(x) + \sum_{i=1}^{n} -f_i(x) p_i \equiv 0. \end{gather*}
Гамильтониан задает полную энергию системы (\ref{eq1}), которая остается неизменной в течение всего времени эволюции системы. Для того, чтобы отыскать значение постоянной $$C$$, которая отвечает движению с начальными данными $$x(0) = x_0, p(0) = p_0$$ достаточно вычислить \begin{gather*} H(x_0, p_0) = \sum_{i=1}^{n} \frac{p_{0, i}^2}{2} + U(x_0). \end{gather*}
Определение 5. Пусть $$x, p \in \mathbb{R}^n$$. Гамильтоновой системой называется система вида \begin{equation} \label{eq3} \begin{cases} \displaystyle \frac{dx_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \\ \displaystyle \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial x_i} \end{cases}, \quad i = \overline{1, n}. \end{equation}
Примеры
Пример 1
Рассмотрим уравнение одномерного движения частицы в потенциальном поле: \begin{gather*} \ddot{x} = f(x). \end{gather*} Перепишем это уравнение в виде системы дифференциальных уравнений: \begin{gather*} \begin{cases} \dot{x} = p, \\ \dot{p} = f(x). \end{cases} \end{gather*} Эта система потенциальна, и ее потенциал положим равным \begin{gather*} U(x) = - \int_{t_0}^x f(t) dt. \end{gather*} Тогда гамильтониан системы будет иметь вид: \begin{gather*} H(x, p) = U(x) + \frac{p^2}{2} = \int_{t_0}^x f(t) dt + \frac{p^2}{2}. \end{gather*}
Выпишем уравнение для поиска траекторий системы. Пусть $$(x_0, p_0)$$ — начальные значения для переменных $$(x, p)$$. Так как $$H(x, p) = \mathrm{const}$$ вдоль траектории системы, то уравнение для поиска траектории системы имеет следующий вид: \begin{gather*} H(x, p) = H(x_0, p_0) = H_0. \end{gather*} Или более подробно: \begin{gather*} U(x) + \frac{p^2}{2} = U(x_0)+ \frac{p_0^2}{2}. \end{gather*} Заметим, что если $$(x, p)$$ является решением этого уравнения, то и $$(x, -p)$$ будет решением этого уравнения.
Построим фазовые траектории системы. Неподвижные точки системы задаются следующей системой уравнений: \begin{gather*} \begin{cases} \displaystyle p = 0, \\ \displaystyle f(x) = -\frac{dU(x)}{dx} = 0. \end{cases} \end{gather*}
Начальный уровень энергии $$H_0$$ задает траекторию системы: \begin{gather*} U(x) + \frac{p^2}{2} = H_0, \end{gather*} \begin{equation} \label{eq4} p = \pm \sqrt{2\big(H_0 - U(x)\big)}. \end{equation} Уравнение (\ref{eq4}) задает траекторию движения в координатах $$(x, p)$$ для заданного начального значения энергии $$H_0$$.
Пример 2
Рассмотрим колебания пружинного маятника, которые задаются следующим уравнением: \begin{gather*} \ddot{x} = -kx. \end{gather*} Перепишем это уравнение в виде системы дифференциальных уравнений: \begin{gather*} \begin{cases} \dot{x} = p, \\ \dot{p} = -kx. \end{cases} \end{gather*} Аналогично Примеру 1 получаем: \begin{gather*} U(x) = \int_{t_0}^x kt dt = \frac{kx^2}{2}, \end{gather*} \begin{gather*} H(x, p) = U(x) + \frac{p^2}{2} = \frac{kx^2}{2} + \frac{p^2}{2}, \end{gather*} \begin{gather*} p = \pm \sqrt{2\big(H_0 - \frac{kx^2}{2}\big)}. \end{gather*}
Пример 3
Рассмотрим уравнение математического маятника. \begin{gather*} \ddot{x} = -k \sin x. \end{gather*} Перепишем это уравнение в виде системы дифференциальных уравнений: \begin{gather*} \begin{cases} \dot{x} = p, \\ \dot{p} = -k \sin x. \end{cases} \end{gather*} Аналогично Примеру 1 получаем: \begin{gather*} U(x) = \int_{t_0}^x k \sin t dt = - k \cos x, \end{gather*} \begin{gather*} H(x, p) = U(x) + \frac{p^2}{2} = - k \cos x + \frac{p^2}{2}, \end{gather*} \begin{gather*} p = \pm \sqrt{2\big(H_0 + k \cos x\big)}. \end{gather*}
Список литературы
- Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
- Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.