Гамильтоновы системы

Первый интеграл системы

Определение

Пусть $$x \in \mathbb{R}^n$$. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений: \begin{equation} \label{s1} \dot{x}_i = f_i(x_1, x_2, \dots, x_n), \quad i = \overline{1, n}. \end{equation} Определение 1. Пусть $$V(x_1, x_2,\dots, x_n)$$ — некоторая функция. Функция \begin{gather*} \dot{V}(x_1, x_2,\dots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_i} f_i(x) \end{gather*} называется производной функции $$V(x_1, x_2,\dots, x_n)$$ в силу системы (\ref{s1}).

Определение 2. Функция $$V(x_1, x_2,\dots, x_n)$$ называется первым интегралом системы (\ref{s1}), если $$V(x_1, x_2,\dots, x_n) = \mathrm{const}$$ или если её производная в силу системы равна нулю.

Уравнение для первого интеграла системы (\ref{s1}) имеет вид: \begin{gather*} \frac{dx_1}{f_1(x_1, x_2)} = \frac{dx_2}{f_2(x_1, x_2)} = \dots = \frac{dx_n}{f_n(x_1, x_2)}. \end{gather*} Отсюда можем получить $$(n-1)$$ функционально независимых первых интегралов.

С точки зрения физического смысла первый интеграл системы задает различные законы сохранения (энергии, импульса и т.п.).

Пример

Фазовые траектории системы обязаны лежать на линиях уровня первого интеграла. Убедимся в этом на примере.

Рассмотрим систему \begin{equation} \label{p1} \begin{cases} \dot{x}_1 = - x_2,\\ \dot{x}_2 = x_1. \end{cases} \end{equation}

Найдем первый интеграл этой системы: \begin{gather*} - \frac{dx_1}{x_2} = \frac{dx_2}{x_1}, \end{gather*} \begin{gather*} V(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2. \end{gather*} Найдем производную в силу системы функции $$V(x_1, x_2)$$: \begin{gather*} \dot{V}(x_1, x_2) = - 2 x_1 x_2 + 2 x_2 x_1 \equiv 0. \end{gather*} Убедились в том, что найденная функция $$V(x_1, x_2)$$ является первым интегралом рассматриваемой системы.

Общее решение системы (\ref{p1}): \begin{gather*} \begin{cases} x_1(t) = C_1 \cos t + C_2 \sin t,\\ x_2(t) = C_2 \cos t - C_1 \sin t. \end{cases} \end{gather*} На графиках отчетливо видно, что фазовые траектории системы (\ref{p1}) лежат на линиях уровня найденного первого интеграла.

Гамильтоновы системы

Рассмотрим уравнение Ньютона ($$x \in \mathbb{R}^n$$): \begin{gather*} m \ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0, \quad F(x) = \big(f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x)\big). \end{gather*} Это уравнение эквивалентно системе \begin{equation} \label{eq1} \begin{cases} \dot{x}_i = p_i,\\ \dot{p}_i = \frac{1}{m}f_i(x). \end{cases}, \quad i = \overline{1, n}. \end{equation} Определение 3. Система потенциальна, если существует функция $$U(x)$$, называемая потенциалом системы такая, что \begin{gather*} \frac{dU(x)}{dx_i}=-f_i(x), \quad i = \overline{1, n}. \end{gather*}

Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. Далее предположим, что $$f_i(x)$$ — непрерывная функция, $$i = \overline{1, n}$$.

Определение 4. Первый интеграл системы (\ref{eq1}) называется гамильтонианом и определяется равенством \begin{equation} \label{eq2} H(x, p) = \sum_{i=1}^{n} \frac{p_i^2}{2} + U(x) = \mathrm{const} = C. \end{equation}

Действительно, непосредственно проверяется, что \begin{gather*} \frac{dH(x, p)}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial p_i}\dot{p}_i + \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial x_i}\dot{x}_i = \sum_{i=1}^{n} p_i f_i(x) + \sum_{i=1}^{n} -f_i(x) p_i \equiv 0. \end{gather*}

Гамильтониан задает полную энергию системы (\ref{eq1}), которая остается неизменной в течение всего времени эволюции системы. Для того, чтобы отыскать значение постоянной $$C$$, которая отвечает движению с начальными данными $$x(0) = x_0, p(0) = p_0$$ достаточно вычислить \begin{gather*} H(x_0, p_0) = \sum_{i=1}^{n} \frac{p_{0, i}^2}{2} + U(x_0). \end{gather*}

Определение 5. Пусть $$x, p \in \mathbb{R}^n$$. Гамильтоновой системой называется система вида \begin{equation} \label{eq3} \begin{cases} \displaystyle \frac{dx_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \\ \displaystyle \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial x_i} \end{cases}, \quad i = \overline{1, n}. \end{equation}

Примеры

Пример 1

Рассмотрим уравнение одномерного движения частицы в потенциальном поле: \begin{gather*} \ddot{x} = f(x). \end{gather*} Перепишем это уравнение в виде системы дифференциальных уравнений: \begin{gather*} \begin{cases} \dot{x} = p, \\ \dot{p} = f(x). \end{cases} \end{gather*} Эта система потенциальна, и ее потенциал положим равным \begin{gather*} U(x) = - \int_{t_0}^x f(t) dt. \end{gather*} Тогда гамильтониан системы будет иметь вид: \begin{gather*} H(x, p) = U(x) + \frac{p^2}{2} = \int_{t_0}^x f(t) dt + \frac{p^2}{2}. \end{gather*}

Выпишем уравнение для поиска траекторий системы. Пусть $$(x_0, p_0)$$ — начальные значения для переменных $$(x, p)$$. Так как $$H(x, p) = \mathrm{const}$$ вдоль траектории системы, то уравнение для поиска траектории системы имеет следующий вид: \begin{gather*} H(x, p) = H(x_0, p_0) = H_0. \end{gather*} Или более подробно: \begin{gather*} U(x) + \frac{p^2}{2} = U(x_0)+ \frac{p_0^2}{2}. \end{gather*} Заметим, что если $$(x, p)$$ является решением этого уравнения, то и $$(x, -p)$$ будет решением этого уравнения.

Построим фазовые траектории системы. Стационарные состояния системы задаются следующей системой уравнений: \begin{gather*} \begin{cases} \displaystyle p = 0, \\ \displaystyle f(x) = -\frac{dU(x)}{dx} = 0. \end{cases} \end{gather*}

Начальный уровень энергии $$H_0$$ задает траекторию системы: \begin{gather*} U(x) + \frac{p^2}{2} = H_0, \end{gather*} \begin{equation} \label{eq4} p = \pm \sqrt{2\big(H_0 - U(x)\big)}. \end{equation} Уравнение (\ref{eq4}) задает траекторию движения в координатах $$(x, p)$$ для заданного начального значения энергии $$H_0$$.

Здесь и далее красными точками обозначены стационарные состояния системы.

Пример 2

Рассмотрим колебания пружинного маятника, которые задаются следующим уравнением: \begin{gather*} \ddot{x} = -kx. \end{gather*} Перепишем это уравнение в виде системы дифференциальных уравнений: \begin{gather*} \begin{cases} \dot{x} = p, \\ \dot{p} = -kx. \end{cases} \end{gather*} Аналогично Примеру 1 получаем: \begin{gather*} U(x) = \int_{t_0}^x kt dt = \frac{kx^2}{2}, \end{gather*} \begin{gather*} H(x, p) = U(x) + \frac{p^2}{2} = \frac{kx^2}{2} + \frac{p^2}{2}, \end{gather*} \begin{gather*} p = \pm \sqrt{2\big(H_0 - \frac{kx^2}{2}\big)}. \end{gather*}

Пример 3

Рассмотрим уравнение математического маятника: \begin{gather*} \ddot{x} = -k \sin x. \end{gather*} Перепишем это уравнение в виде системы дифференциальных уравнений: \begin{gather*} \begin{cases} \dot{x} = p, \\ \dot{p} = -k \sin x. \end{cases} \end{gather*} Аналогично Примеру 1 получаем: \begin{gather*} U(x) = \int_{t_0}^x k \sin t dt = - k \cos x, \end{gather*} \begin{gather*} H(x, p) = U(x) + \frac{p^2}{2} = - k \cos x + \frac{p^2}{2}, \end{gather*} \begin{gather*} p = \pm \sqrt{2\big(H_0 + k \cos x\big)}. \end{gather*}

Список литературы

1. Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
2. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.