Гамильтоновы системы: различия между версиями

Материал из sawiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
(не показано 5 промежуточных версий этого же участника)
Строка 16: Строка 16:
  
 
'''Определение 2.'''
 
'''Определение 2.'''
Функция $$V(x_1, x_2,\dots, x_n)$$ называется '''первым интегралом системы (\ref{s1})''', если $$V(x_1, x_2,\dots, x_n) = \mathrm{const}$$ или если её производная в силу системы (\ref{s1}) равна нулю.
+
Функция $$V(x_1, x_2,\dots, x_n)$$ называется '''первым интегралом системы (\ref{s1})''', если $$V(x_1, x_2,\dots, x_n) = \mathrm{const}$$ или если её производная в силу системы равна нулю.
  
Уравнение для первого интеграла системы (\ref{s1}) имеет вид:
+
Первый интеграл системы (\ref{s1}) находится путем решения одного из следующих дифференциальных уравнений:
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
   \frac{dx_1}{f_1(x_1, x_2)} = \frac{dx_2}{f_2(x_1, x_2)} = \dots = \frac{dx_n}{f_n(x_1, x_2)}.
+
   \frac{dx_1}{f_1(x)} = \frac{dx_2}{f_2(x)} = \dots = \frac{dx_n}{f_n(x)}.
 
\end{gather*}
 
\end{gather*}
Отсюда можем получить $$(n-1)$$ функционально независимых первых интегралов системы (\ref{s1}).
+
В качестве первого интеграла можно выбрать любую функцию из полученного семейства решений, но обычно выбирается функция с нулевой константой.
 +
Всего таким способом можно получить $$(n-1)$$ функционально независимых первых интегралов.
  
С точки зрения физического смысла, первый интеграл системы задает различные законы сохранения (энергии, импульса и т.п.).  
+
С точки зрения физического смысла первый интеграл системы задает различные законы сохранения (энергии, импульса и т.п.).  
 +
 
 +
[[Файл:Fp chistyakov.png|325px|мини|справа|Фазовый портрет системы]]
 +
[[Файл:Lu chistyakov.png|325px|мини|справа|Линии уровня первого интеграла системы]]
  
 
===Пример===
 
===Пример===
 +
 
Фазовые траектории системы обязаны лежать на линиях уровня первого интеграла. Убедимся в этом на примере.
 
Фазовые траектории системы обязаны лежать на линиях уровня первого интеграла. Убедимся в этом на примере.
  
Строка 42: Строка 47:
 
   - \frac{dx_1}{x_2} = \frac{dx_2}{x_1},
 
   - \frac{dx_1}{x_2} = \frac{dx_2}{x_1},
 
\end{gather*}
 
\end{gather*}
\begin{gather*}
 
  - x_1^2 = x_2^2 = \mathrm{const}.
 
\end{gather*}
 
Откуда
 
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
 
   V(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2.
 
   V(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2.
Строка 63: Строка 64:
 
\end{gather*}
 
\end{gather*}
 
На графиках отчетливо видно, что фазовые траектории системы (\ref{p1}) лежат на линиях уровня найденного первого интеграла.
 
На графиках отчетливо видно, что фазовые траектории системы (\ref{p1}) лежат на линиях уровня найденного первого интеграла.
[[Файл:Fp chistyakov.png|512px|безрамки|слева|Фазовый портрет системы]]
+
 
[[Файл:Lu chistyakov.png|512px|безрамки|без|Линии уровня первого интеграла системы]]
 
  
 
==Гамильтоновы системы==
 
==Гамильтоновы системы==
Рассмотрим уравнение Ньютона ($$x \in \mathbb{R}^n$$):
+
Рассмотрим уравнение Ньютона для материальной точки $$x \in \mathbb{R}^n$$, для простоты положим её массу равной 1:
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
m \ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0, \quad F(x) = \big(f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x)\big).
+
\ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0, \quad F(x) = \big(f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x)\big).
 
\end{gather*}
 
\end{gather*}
 
Это уравнение эквивалентно системе
 
Это уравнение эквивалентно системе
Строка 76: Строка 76:
 
\begin{cases}
 
\begin{cases}
 
   \dot{x}_i = p_i,\\
 
   \dot{x}_i = p_i,\\
   \dot{p}_i = \frac{1}{m}F_i(x).
+
   \dot{p}_i = f_i(x).
 
  \end{cases}, \quad
 
  \end{cases}, \quad
 
i = \overline{1, n}.
 
i = \overline{1, n}.
Строка 86: Строка 86:
 
\end{gather*}
 
\end{gather*}
  
Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. Далее предположим, что $$f_i(x)$$ — [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F непрерывная функция], $$i = \overline{1, n}$$.
+
Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. Далее будем предполагать, что $$f_i(x)$$ — [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F непрерывная функция], $$i = \overline{1, n}$$.
  
 
'''Определение 4.'''
 
'''Определение 4.'''
Строка 95: Строка 95:
 
\end{equation}
 
\end{equation}
  
Действительно, непосредственно проверяется, что  
+
Проверим, что это действительно первый интеграл системы (\ref{eq1}):
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
 
\frac{dH(x, p)}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial p_i}\dot{p}_i + \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial x_i}\dot{x}_i =  
 
\frac{dH(x, p)}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial p_i}\dot{p}_i + \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial x_i}\dot{x}_i =  
Строка 145: Строка 145:
 
H(x, p) = H(x_0, p_0) = H_0.
 
H(x, p) = H(x_0, p_0) = H_0.
 
\end{gather*}
 
\end{gather*}
 +
 
Или более подробно:
 
Или более подробно:
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
 
U(x) + \frac{p^2}{2} = U(x_0)+ \frac{p_0^2}{2}.
 
U(x) + \frac{p^2}{2} = U(x_0)+ \frac{p_0^2}{2}.
 
\end{gather*}
 
\end{gather*}
 +
[[Файл:Primer1 chistyakov.png|391px|мини|вправо|Поведение гамильтоновой системы из примера 1]]
 
Заметим, что если $$(x, p)$$ является решением этого уравнения, то и $$(x, -p)$$ будет решением этого уравнения.
 
Заметим, что если $$(x, p)$$ является решением этого уравнения, то и $$(x, -p)$$ будет решением этого уравнения.
  
Построим фазовые траектории системы. Неподвижные точки системы задаются следующей системой уравнений:
+
Построим фазовые траектории системы. Стационарные состояния системы задаются следующей системой уравнений:
\begin{gather*}
+
\begin{equation}
 +
\label{ss}
 
\begin{cases}
 
\begin{cases}
 
\displaystyle p = 0, \\
 
\displaystyle p = 0, \\
 
\displaystyle f(x) = -\frac{dU(x)}{dx} = 0.
 
\displaystyle f(x) = -\frac{dU(x)}{dx} = 0.
 
\end{cases}
 
\end{cases}
\end{gather*}
+
\end{equation}
  
 
Начальный уровень энергии $$H_0$$ задает траекторию системы:
 
Начальный уровень энергии $$H_0$$ задает траекторию системы:
Строка 168: Строка 171:
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
Уравнение (\ref{eq4}) задает траекторию движения в координатах $$(x, p)$$ для заданного начального значения энергии $$H_0$$.
 
Уравнение (\ref{eq4}) задает траекторию движения в координатах $$(x, p)$$ для заданного начального значения энергии $$H_0$$.
[[Файл:Primer1 chistyakov.png|800px|безрамки|центр|Поведение гамильтоновой системы]]
+
 
 +
Здесь и далее на верхнем графике показано поведение функции $$U(x)$$, а на нижнем — траектории движения в координатах $$(x, p)$$. Красными точками обозначены стационарные состояния системы, которые находятся из системы (\ref{ss}). Можно заметить, что в стационарных точках, соответствующих локальным максимумам функции $$U(x)$$, траектории ведут себя подобно седлу, а в точках, соответствующих локальным минимумам функции $$U(x)$$ — подобно центрам. Подробнее об этих видах стационарных точек можно прочитать в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Классификация_особых_точек_в_двумерном_пространстве этой статье].
 +
 
  
 
===Пример 2===
 
===Пример 2===
 +
[[Файл:Primer2 chistyakov.png|391px|мини|вправо|Поведение гамильтоновой системы из примера 2]]
 
Рассмотрим колебания [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BC%D0%B0%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA пружинного маятника], которые задаются следующим уравнением:
 
Рассмотрим колебания [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BC%D0%B0%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA пружинного маятника], которые задаются следующим уравнением:
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
 
\ddot{x} = -kx.
 
\ddot{x} = -kx.
 
\end{gather*}
 
\end{gather*}
 +
 
Перепишем это уравнение в виде системы дифференциальных уравнений:
 
Перепишем это уравнение в виде системы дифференциальных уравнений:
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
Строка 192: Строка 199:
 
p = \pm \sqrt{2\big(H_0 - \frac{kx^2}{2}\big)}.
 
p = \pm \sqrt{2\big(H_0 - \frac{kx^2}{2}\big)}.
 
\end{gather*}
 
\end{gather*}
[[Файл:Primer2 chistyakov.png|800px|безрамки|центр|Поведение гамильтоновой системы]]
+
 
 +
 
 
===Пример 3===
 
===Пример 3===
Рассмотрим уравнение [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%B0%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA математического маятника].
+
[[Файл:Primer3 chistyakov.png|391px|мини|вправо|Поведение гамильтоновой системы из примера 3]]
 +
Рассмотрим уравнение [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%B0%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA математического маятника]:
 
\begin{gather*}
 
\begin{gather*}
 
\ddot{x} = -k \sin x.
 
\ddot{x} = -k \sin x.
Строка 215: Строка 224:
 
p = \pm \sqrt{2\big(H_0 + k \cos x\big)}.
 
p = \pm \sqrt{2\big(H_0 + k \cos x\big)}.
 
\end{gather*}
 
\end{gather*}
[[Файл:Primer3 chistyakov.png|800px|безрамки|центр|Поведение гамильтоновой системы]]
+
 
 
== Список литературы ==
 
== Список литературы ==
 
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
 
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
 
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.
 
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.

Текущая версия на 04:06, 3 декабря 2023

Первый интеграл системы

Определение

Пусть $$x \in \mathbb{R}^n$$. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений: \begin{equation} \label{s1} \dot{x}_i = f_i(x_1, x_2, \dots, x_n), \quad i = \overline{1, n}. \end{equation} Определение 1. Пусть $$V(x_1, x_2,\dots, x_n)$$ — некоторая функция. Функция \begin{gather*} \dot{V}(x_1, x_2,\dots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_i} f_i(x) \end{gather*} называется производной функции $$V(x_1, x_2,\dots, x_n)$$ в силу системы (\ref{s1}).

Определение 2. Функция $$V(x_1, x_2,\dots, x_n)$$ называется первым интегралом системы (\ref{s1}), если $$V(x_1, x_2,\dots, x_n) = \mathrm{const}$$ или если её производная в силу системы равна нулю.

Первый интеграл системы (\ref{s1}) находится путем решения одного из следующих дифференциальных уравнений: \begin{gather*} \frac{dx_1}{f_1(x)} = \frac{dx_2}{f_2(x)} = \dots = \frac{dx_n}{f_n(x)}. \end{gather*} В качестве первого интеграла можно выбрать любую функцию из полученного семейства решений, но обычно выбирается функция с нулевой константой. Всего таким способом можно получить $$(n-1)$$ функционально независимых первых интегралов.

С точки зрения физического смысла первый интеграл системы задает различные законы сохранения (энергии, импульса и т.п.).

Фазовый портрет системы
Линии уровня первого интеграла системы

Пример

Фазовые траектории системы обязаны лежать на линиях уровня первого интеграла. Убедимся в этом на примере.

Рассмотрим систему \begin{equation} \label{p1} \begin{cases} \dot{x}_1 = - x_2,\\ \dot{x}_2 = x_1. \end{cases} \end{equation}

Найдем первый интеграл этой системы: \begin{gather*} - \frac{dx_1}{x_2} = \frac{dx_2}{x_1}, \end{gather*} \begin{gather*} V(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2. \end{gather*} Найдем производную в силу системы функции $$V(x_1, x_2)$$: \begin{gather*} \dot{V}(x_1, x_2) = - 2 x_1 x_2 + 2 x_2 x_1 \equiv 0. \end{gather*} Убедились в том, что найденная функция $$V(x_1, x_2)$$ является первым интегралом рассматриваемой системы.

Общее решение системы (\ref{p1}): \begin{gather*} \begin{cases} x_1(t) = C_1 \cos t + C_2 \sin t,\\ x_2(t) = C_2 \cos t - C_1 \sin t. \end{cases} \end{gather*} На графиках отчетливо видно, что фазовые траектории системы (\ref{p1}) лежат на линиях уровня найденного первого интеграла.


Гамильтоновы системы

Рассмотрим уравнение Ньютона для материальной точки $$x \in \mathbb{R}^n$$, для простоты положим её массу равной 1: \begin{gather*} \ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0, \quad F(x) = \big(f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x)\big). \end{gather*} Это уравнение эквивалентно системе \begin{equation} \label{eq1} \begin{cases} \dot{x}_i = p_i,\\ \dot{p}_i = f_i(x). \end{cases}, \quad i = \overline{1, n}. \end{equation} Определение 3. Система потенциальна, если существует функция $$U(x)$$, называемая потенциалом системы такая, что \begin{gather*} \frac{dU(x)}{dx_i}=-f_i(x), \quad i = \overline{1, n}. \end{gather*}

Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. Далее будем предполагать, что $$f_i(x)$$ — непрерывная функция, $$i = \overline{1, n}$$.

Определение 4. Первый интеграл системы (\ref{eq1}) называется гамильтонианом и определяется равенством \begin{equation} \label{eq2} H(x, p) = \sum_{i=1}^{n} \frac{p_i^2}{2} + U(x) = \mathrm{const} = C. \end{equation}

Проверим, что это действительно первый интеграл системы (\ref{eq1}): \begin{gather*} \frac{dH(x, p)}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial p_i}\dot{p}_i + \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial x_i}\dot{x}_i = \sum_{i=1}^{n} p_i f_i(x) + \sum_{i=1}^{n} -f_i(x) p_i \equiv 0. \end{gather*}

Гамильтониан задает полную энергию системы (\ref{eq1}), которая остается неизменной в течение всего времени эволюции системы. Для того, чтобы отыскать значение постоянной $$C$$, которая отвечает движению с начальными данными $$x(0) = x_0, p(0) = p_0$$ достаточно вычислить \begin{gather*} H(x_0, p_0) = \sum_{i=1}^{n} \frac{p_{0, i}^2}{2} + U(x_0). \end{gather*}

Определение 5. Пусть $$x, p \in \mathbb{R}^n$$. Гамильтоновой системой называется система вида \begin{equation} \label{eq3} \begin{cases} \displaystyle \frac{dx_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \\ \displaystyle \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial x_i} \end{cases}, \quad i = \overline{1, n}. \end{equation}

Примеры

Пример 1

Рассмотрим уравнение одномерного движения частицы в потенциальном поле: \begin{gather*} \ddot{x} = f(x). \end{gather*} Перепишем это уравнение в виде системы дифференциальных уравнений: \begin{gather*} \begin{cases} \dot{x} = p, \\ \dot{p} = f(x). \end{cases} \end{gather*} Эта система потенциальна, и ее потенциал положим равным \begin{gather*} U(x) = - \int_{t_0}^x f(t) dt. \end{gather*} Тогда гамильтониан системы будет иметь вид: \begin{gather*} H(x, p) = U(x) + \frac{p^2}{2} = \int_{t_0}^x f(t) dt + \frac{p^2}{2}. \end{gather*}

Выпишем уравнение для поиска траекторий системы. Пусть $$(x_0, p_0)$$ — начальные значения для переменных $$(x, p)$$. Так как $$H(x, p) = \mathrm{const}$$ вдоль траектории системы, то уравнение для поиска траектории системы имеет следующий вид: \begin{gather*} H(x, p) = H(x_0, p_0) = H_0. \end{gather*}

Или более подробно: \begin{gather*} U(x) + \frac{p^2}{2} = U(x_0)+ \frac{p_0^2}{2}. \end{gather*}

Поведение гамильтоновой системы из примера 1

Заметим, что если $$(x, p)$$ является решением этого уравнения, то и $$(x, -p)$$ будет решением этого уравнения.

Построим фазовые траектории системы. Стационарные состояния системы задаются следующей системой уравнений: \begin{equation} \label{ss} \begin{cases} \displaystyle p = 0, \\ \displaystyle f(x) = -\frac{dU(x)}{dx} = 0. \end{cases} \end{equation}

Начальный уровень энергии $$H_0$$ задает траекторию системы: \begin{gather*} U(x) + \frac{p^2}{2} = H_0, \end{gather*} \begin{equation} \label{eq4} p = \pm \sqrt{2\big(H_0 - U(x)\big)}. \end{equation} Уравнение (\ref{eq4}) задает траекторию движения в координатах $$(x, p)$$ для заданного начального значения энергии $$H_0$$.

Здесь и далее на верхнем графике показано поведение функции $$U(x)$$, а на нижнем — траектории движения в координатах $$(x, p)$$. Красными точками обозначены стационарные состояния системы, которые находятся из системы (\ref{ss}). Можно заметить, что в стационарных точках, соответствующих локальным максимумам функции $$U(x)$$, траектории ведут себя подобно седлу, а в точках, соответствующих локальным минимумам функции $$U(x)$$ — подобно центрам. Подробнее об этих видах стационарных точек можно прочитать в этой статье.


Пример 2

Поведение гамильтоновой системы из примера 2

Рассмотрим колебания пружинного маятника, которые задаются следующим уравнением: \begin{gather*} \ddot{x} = -kx. \end{gather*}

Перепишем это уравнение в виде системы дифференциальных уравнений: \begin{gather*} \begin{cases} \dot{x} = p, \\ \dot{p} = -kx. \end{cases} \end{gather*} Аналогично Примеру 1 получаем: \begin{gather*} U(x) = \int_{t_0}^x kt dt = \frac{kx^2}{2}, \end{gather*} \begin{gather*} H(x, p) = U(x) + \frac{p^2}{2} = \frac{kx^2}{2} + \frac{p^2}{2}, \end{gather*} \begin{gather*} p = \pm \sqrt{2\big(H_0 - \frac{kx^2}{2}\big)}. \end{gather*}


Пример 3

Поведение гамильтоновой системы из примера 3

Рассмотрим уравнение математического маятника: \begin{gather*} \ddot{x} = -k \sin x. \end{gather*} Перепишем это уравнение в виде системы дифференциальных уравнений: \begin{gather*} \begin{cases} \dot{x} = p, \\ \dot{p} = -k \sin x. \end{cases} \end{gather*} Аналогично Примеру 1 получаем: \begin{gather*} U(x) = \int_{t_0}^x k \sin t dt = - k \cos x, \end{gather*} \begin{gather*} H(x, p) = U(x) + \frac{p^2}{2} = - k \cos x + \frac{p^2}{2}, \end{gather*} \begin{gather*} p = \pm \sqrt{2\big(H_0 + k \cos x\big)}. \end{gather*}

Список литературы

  1. Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
  2. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.