Гамильтоновы системы

Определения

Рассмотрим одномерное уравнение Ньютона \begin{equation} m \ddot{x} = F(x),\quad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = p_0 \end{equation} Это уравнение эквивалентно системе \begin{equation} \begin{cases} \dot{x} = p,\\ \dot{p} = f(x), \quad f(x) = \frac{1}{m}F(x). \end{cases} \end{equation} Определение 1. Пусть рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений: \begin{gather*} \frac{dx_i}{dt}=f_i(x),\quad \text{где}\quad x=(x_1,...,x_n)\in \mathbb{R}^n,\\ f_i(x)\: — \text{ компоненты вектор-функции } f(x)=\big(f_1(x),...,f_n(x)\big);\\ x(0)=x_0\in D_0. \end{gather*} Введём обозначение для множества решений системы в фиксированный момент времени: \begin{gather*} D_t=\left\{\,x(t,x_0),\quad x_0\in D_0\right\}. \end{gather*} Фазовым объёмом множества $$D_t$$ называется выражение, определяемое по