Геометрическая разность двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки: различия между версиями
Ulyana (обсуждение | вклад) |
Ulyana (обсуждение | вклад) |
||
Строка 36: | Строка 36: | ||
\rho ( l | \varepsilon_{-} ) \geqslant \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ). | \rho ( l | \varepsilon_{-} ) \geqslant \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ). | ||
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
− | Из этого получаем, что $$ \rho ( l | \varepsilon_{1} \dot{-} \varepsilon_{2} ) $$ - максимальная выпуклая функция, не превосходящая $$ conv ( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) $$. | + | Из этого получаем, что $$ \rho ( l | \varepsilon_{1} \dot{-} \varepsilon_{2} ) $$ - максимальная выпуклая функция, не превосходящая $$ conv ( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) $$. |
− | Применим овыпукление к предыдущему неравенству: \\ | + | Применим овыпукление к предыдущему неравенству: \\ |
− | + | I способ | |
\begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
conv( \rho ( l | \varepsilon_{-} ) \geqslant \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) \\ | conv( \rho ( l | \varepsilon_{-} ) \geqslant \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) \\ | ||
− | conv( \rho ( l | \varepsilon_{-} ) ) \geqslant conv( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) \ | + | conv( \rho ( l | \varepsilon_{-} ) ) \geqslant conv( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) \Rightarrow \\ |
− | \text{ \ | + | \text{ \bigg{ так как \rho ( l | \varepsilon_{-} ) выпуклая функция \bigg} } \Rightarrow \\ |
\rho ( l | \varepsilon_{-} ) \geqslant conv( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) | \rho ( l | \varepsilon_{-} ) \geqslant conv( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) | ||
\end{gather*} | \end{gather*} | ||
== Внешние эллипсоидальные оценки == | == Внешние эллипсоидальные оценки == |
Версия 02:09, 27 декабря 2022
В этой статье будут рассмотрены геометрическая разность двух эллипсоидов и ее внутренние и внешние оценки.
Определение
Разностью двух эллипсоидов будем называть $$\varepsilon_{1} \dot{—} \varepsilon_{2}$$ \begin{gather*} \rho (l | \varepsilon_{1} \dot{—} \varepsilon_{2}) = conv( \rho(l | \varepsilon_{1}) - \rho (l | \varepsilon_{2} )) \end{gather*}
Внутренние эллипсоидальные оценки
Будем оценивать разность эллипсоидами. \begin{gather*} \varepsilon_{1} = \varepsilon (0, Q_{1}); \\ \varepsilon_{2} = \varepsilon (0, Q_{2}); \\ \varepsilon_{-} \displaystyle = \varepsilon (0, Q_{-}), \, где \, Q_{-} = (p_{1} - p_{1}) ( \frac{Q_{1}}{p_{1}} - \frac{Q_{2}}{p_{2}} ); \end{gather*} Оценим опорной функцией: \begin{gather*} \rho^{2} ( l | \varepsilon_{-} ) \displaystyle = \langle l, Q_{1}l \rangle + \langle l, Q_{2}l \rangle - \frac{p_{2}}{p_{1}} \langle l, Q_{1}l \rangle - \frac{p_{1}}{p_{2}} \langle l, Q_{2}l \rangle \leq \\ \displaystyle \leq \langle l, Q_{1}l \rangle + \langle l, Q_{2}l \rangle - 2 \sqrt{ \frac{p_{2}}{p_{1}} \langle l, Q_{1}l \rangle \frac{p_{1}}{p_{2}} \langle l, Q_{2}l \rangle } = \\ = \displaystyle \langle l, Q_{1}l \rangle - 2 \langle l, Q_{1}l \rangle^{0.5} \langle l, Q_{2}l \rangle^{0.5} = \\ \displaystyle = [ \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ]^{2} \end{gather*} равенство достигается при \begin{gather*} p_{1} = \langle l, Q_{1}l \rangle^{0.5}; \\ p_{2} = \langle l, Q_{2}l \rangle^{0.5}. \end{gather*}. Необходимо, чтобы $$Q_{-} \geqslant 0 $$. Это достигается при \begin{gather*} \begin{cases} \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) \geqslant 0, ( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) = conv( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ). \end{cases} \end{gather*} При этом если известно, что $$Q_{-} \geqslant 0 $$, то \begin{gather*} \rho ( l | \varepsilon_{-} ) \geqslant \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ). \end{gather*} Из этого получаем, что $$ \rho ( l | \varepsilon_{1} \dot{-} \varepsilon_{2} ) $$ - максимальная выпуклая функция, не превосходящая $$ conv ( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) $$. Применим овыпукление к предыдущему неравенству: \\ I способ \begin{gather*} conv( \rho ( l | \varepsilon_{-} ) \geqslant \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) \\ conv( \rho ( l | \varepsilon_{-} ) ) \geqslant conv( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) \Rightarrow \\ \text{ \bigg{ так как \rho ( l | \varepsilon_{-} ) выпуклая функция \bigg} } \Rightarrow \\ \rho ( l | \varepsilon_{-} ) \geqslant conv( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) \end{gather*}