Динамическая система: различия между версиями
Строка 4: | Строка 4: | ||
однозначно определяются состоянием в настоящее время. | однозначно определяются состоянием в настоящее время. | ||
− | |||
==Примеры== | ==Примеры== | ||
− | '''Пример 1''' | + | '''Пример 1'''. |
− | Рассмотрим изолированную популяцию, находящуюся в неизменных условиях, не подвергающуюся | + | |
+ | $$\quad$$ Рассмотрим изолированную популяцию, находящуюся в неизменных условиях, не подвергающуюся | ||
внешнему воздействию, каждая особь которой имеет одинаковый доступ к ресурсам, а так же, одинаковую вероятность встретить (и | внешнему воздействию, каждая особь которой имеет одинаковый доступ к ресурсам, а так же, одинаковую вероятность встретить (и | ||
таким образом конкурировать) другую особь популяции. | таким образом конкурировать) другую особь популяции. | ||
− | Так как численность не может быть отрицательной, то пространство состояний | + | $$\quad$$ Так как численность не может быть отрицательной, то пространство состояний |
− | в данном примере $$X = \mathbb{R}^+$$, где $$\mathbb{R}^+ = {N ∈ \mathbb{R}: N > 0}$$. Здесь следует отметить, | + | в данном примере $$X = \mathbb{R}^+$$, где $$\mathbb{R}^+ = \{N ∈ \mathbb{R}: N > 0\}$$. Здесь следует отметить, |
что если рассматривать численность как функцию времени, то очевидно, что эта | что если рассматривать численность как функцию времени, то очевидно, что эта | ||
функция целочисленна, т.е. $$N(t) ∈ {N ∈ Z: N > 0}$$. Величина $$\dfrac{N(t + ∆t) − N(t)}{∆t}$$ | функция целочисленна, т.е. $$N(t) ∈ {N ∈ Z: N > 0}$$. Величина $$\dfrac{N(t + ∆t) − N(t)}{∆t}$$ | ||
Строка 22: | Строка 22: | ||
рост. | рост. | ||
− | '''Пример 2'''(Экологическая система). Состояние экологического сообщества в пределах определенной области $$Ω$$ может быть описано вектором с неотрицательными компонентами $$N = ( | + | '''Пример 2''' ('''Экологическая система'''). |
− | где $$N_i$$ — численность или плотность $$i$$-го вида. Здесь, очевидно, $$R^n_+ = {N ∈ R^n: N > 0}$$, | + | |
+ | $$\quad$$ Состояние экологического сообщества в пределах определенной области $$Ω$$ может быть описано вектором с неотрицательными компонентами $$N = (N_1, N_2, . . . , N_n) ∈ \mathbb{R}^n_+$$, | ||
+ | где $$N_i$$ — численность или плотность $$i$$-го вида. Здесь, очевидно, $$\mathbb{R}^n_+ = \{N ∈ \mathbb{R}^n: N > 0\}$$, | ||
где запись $$N > 0$$ для вектора $$N$$ обозначает, что $$N_i > 0$$ для всех $$i$$. | где запись $$N > 0$$ для вектора $$N$$ обозначает, что $$N_i > 0$$ для всех $$i$$. | ||
− | '''Пример 3''' В случае примера 1, можно добавить в рассмотрение признаки особей. Предположим, что распределение по признаку непрерывно (скажем, если признак — вес индивидуума или его возраст). Если обозначить пространство признаков как $$Γ$$, то | + | '''Пример 3'''. |
+ | |||
+ | $$\quad$$ В случае примера 1, можно добавить в рассмотрение признаки особей. Предположим, что распределение по признаку непрерывно (скажем, если признак — вес индивидуума или его возраст). Если обозначить пространство признаков как $$Γ$$, то | ||
состояние системы описывается функцией $$N(γ, t), γ ∈ Γ$$. | состояние системы описывается функцией $$N(γ, t), γ ∈ Γ$$. | ||
− | В соответствии с размерностью пространства состояний $$X$$ динамические системы называются конечномерными | + | В соответствии с размерностью пространства состояний $$X$$ динамические системы называются '''конечномерными''' |
− | или бесконечномерными. | + | или '''бесконечномерными'''. |
+ | |||
+ | ==Эволюционным оператор== | ||
Эволюция динамической системы означает изменение состояния системы со временем $$t ∈ T$$, где $$T$$ — упорядоченное множество. | Эволюция динамической системы означает изменение состояния системы со временем $$t ∈ T$$, где $$T$$ — упорядоченное множество. | ||
− | В математической биологии применяются два типа динамических систем: непрерывные с временем $$T = R$$ и дискретные с целочисленным временем $$T = Z$$. | + | $$\quad$$В математической биологии применяются два типа динамических систем: '''непрерывные''' с временем $$T = \mathbb{R}$$ и '''дискретные''' с целочисленным временем $$T = Z$$. |
− | Основным компонентом любой динамической системы является закон эволюции, | + | |
+ | $$\quad$$Основным компонентом любой динамической системы является '''закон эволюции''', | ||
который определяет состояние системы $$x_t$$ в момент времени $$t$$, при условии, что | который определяет состояние системы $$x_t$$ в момент времени $$t$$, при условии, что | ||
− | начальное состояние $$x_0$$ известно. | + | начальное состояние $$x_0$$ известно. |
− | Отображение $$ϕ^t$$ часто называют эволюционным оператором динамической системы. | + | |
+ | $$\quad$$Самый общий способ описать закон эволюции - задать отображение: \[ϕ^t: X → X,\] которое переводит начальное состояние в состояние системы в момент $$t$$: $$x_t = ϕ^t x_0$$. | ||
+ | |||
+ | $$\quad$$Отображение $$ϕ^t$$ часто называют '''эволюционным оператором''' динамической системы. | ||
Эволюционный оператор имеет два естественных свойства, которые отражают детерминированный характер поведения динамической системы. | Эволюционный оператор имеет два естественных свойства, которые отражают детерминированный характер поведения динамической системы. | ||
− | + | \[ | |
− | + | ϕ^0 x = x,\ \forall x \in X\ \\ | |
− | + | \label{eq:0} | |
+ | ϕ^{t+s} = ϕ^t◦ϕ^s\ \text{или}\ ϕ^{t+s}x = ϕ^t(ϕ^sx),\ \forall x \in X\ \] | ||
− | $$ | + | $$\quad$$Другими словами, результат эволюции системы в течение $$t + s$$ единиц времени тот же самый, как если |
− | результат эволюции системы в течение $$t + s$$ единиц времени тот же самый, как если | ||
бы сначала зафиксировать изменение системы за s единиц времени и затем получить | бы сначала зафиксировать изменение системы за s единиц времени и затем получить | ||
состояние измененной системы еще через $$t$$ единиц времени. Свойство | состояние измененной системы еще через $$t$$ единиц времени. Свойство | ||
− | == Определение динамической | + | == Определение динамической системы == |
− | Динамической системой называется пара $${X, ϕ^t}$$, где $$X$$ — пространство состояний, $$ϕ^t$$ — однопараметрическое семейство эволюционных операторов, удовлетворяющее свойствам (1) и (2). | + | $$\quad$$'''Динамической системой''' называется пара $${X,\ ϕ^t}$$, где $$X$$ — пространство состояний, $$ϕ^t$$ — однопараметрическое семейство эволюционных операторов, удовлетворяющее свойствам (1) и (2). |
− | Самый простой способ задать динамическую систему — указать эволюционный | + | $$\quad$$Самый простой способ задать динамическую систему — указать эволюционный |
оператор в явном виде. Например, можно положить $$ϕ^1 = f(N) = 2N$$. То есть, за | оператор в явном виде. Например, можно положить $$ϕ^1 = f(N) = 2N$$. То есть, за | ||
каждую единицу времени численность популяции увеличивается в 2 раза. | каждую единицу времени численность популяции увеличивается в 2 раза. | ||
− | Другой общий способ задания динамической системы — описать закон эволюции | + | $$\quad$$Другой общий способ задания динамической системы — описать закон эволюции |
с помощью дифференциальных уравнений. | с помощью дифференциальных уравнений. | ||
− | Предположим, что пространство состояний динамической системы есть подмножество $$X = U ⊆ R^n$$ | + | |
+ | $$\quad$$Предположим, что пространство состояний динамической системы есть подмножество $$X = U ⊆ \mathbb{R}^n$$ | ||
с координатами $$u = (u_1, u_2, . . . , u_n)$$. Закон эволюции задается | с координатами $$u = (u_1, u_2, . . . , u_n)$$. Закон эволюции задается | ||
неявно, в терминах скоростей изменения координат: | неявно, в терминах скоростей изменения координат: | ||
− | + | \[\dot{u} = f(u), u ∈ U ⊆ \mathbb{R}^n, f : U → \mathbb{R}^n\], | |
или, в покоординатной форме записи, | или, в покоординатной форме записи, | ||
Версия 21:56, 3 декабря 2023
В этой статье вводится фундаментальное математическое понятие динамической системы. С помощью этого понятия можно строить отображения сложных биологических систем в формальные конструкции — математические модели.
Определение динамической системы является математической формализацией общей научной концепции детерминированного процесса. Процесс называется детерминированным, если весь его будущий ход и все его прошлое однозначно определяются состоянием в настоящее время.
Примеры
Пример 1.
$$\quad$$ Рассмотрим изолированную популяцию, находящуюся в неизменных условиях, не подвергающуюся внешнему воздействию, каждая особь которой имеет одинаковый доступ к ресурсам, а так же, одинаковую вероятность встретить (и таким образом конкурировать) другую особь популяции.
$$\quad$$ Так как численность не может быть отрицательной, то пространство состояний в данном примере $$X = \mathbb{R}^+$$, где $$\mathbb{R}^+ = \{N ∈ \mathbb{R}: N > 0\}$$. Здесь следует отметить, что если рассматривать численность как функцию времени, то очевидно, что эта функция целочисленна, т.е. $$N(t) ∈ {N ∈ Z: N > 0}$$. Величина $$\dfrac{N(t + ∆t) − N(t)}{∆t}$$ описывает среднюю скорость роста в интервале времени $$(t, t+∆t]$$. Если численность популяции велика, то скачки, вызванные рождением и смертью отдельных индивидуумов, выглядят пренебрежимо малыми на графике функции $$N(t)$$. Поэтому мы постулируем существование производной по времени $$\dfrac{dN(t)}{dt} = \lim\limits_{∆t→0}\dfrac{N(t + ∆t) − N(t)}{∆t} ≡ \dot{N}$$.
Величина $$\dfrac{\dot{N}}{N}$$ показывает средний вклад одного индивидуума в популяционный
рост.
Пример 2 (Экологическая система).
$$\quad$$ Состояние экологического сообщества в пределах определенной области $$Ω$$ может быть описано вектором с неотрицательными компонентами $$N = (N_1, N_2, . . . , N_n) ∈ \mathbb{R}^n_+$$, где $$N_i$$ — численность или плотность $$i$$-го вида. Здесь, очевидно, $$\mathbb{R}^n_+ = \{N ∈ \mathbb{R}^n: N > 0\}$$, где запись $$N > 0$$ для вектора $$N$$ обозначает, что $$N_i > 0$$ для всех $$i$$.
Пример 3.
$$\quad$$ В случае примера 1, можно добавить в рассмотрение признаки особей. Предположим, что распределение по признаку непрерывно (скажем, если признак — вес индивидуума или его возраст). Если обозначить пространство признаков как $$Γ$$, то состояние системы описывается функцией $$N(γ, t), γ ∈ Γ$$.
В соответствии с размерностью пространства состояний $$X$$ динамические системы называются конечномерными или бесконечномерными.
Эволюционным оператор
Эволюция динамической системы означает изменение состояния системы со временем $$t ∈ T$$, где $$T$$ — упорядоченное множество.
$$\quad$$В математической биологии применяются два типа динамических систем: непрерывные с временем $$T = \mathbb{R}$$ и дискретные с целочисленным временем $$T = Z$$.
$$\quad$$Основным компонентом любой динамической системы является закон эволюции, который определяет состояние системы $$x_t$$ в момент времени $$t$$, при условии, что начальное состояние $$x_0$$ известно.
$$\quad$$Самый общий способ описать закон эволюции - задать отображение: \[ϕ^t: X → X,\] которое переводит начальное состояние в состояние системы в момент $$t$$: $$x_t = ϕ^t x_0$$.
$$\quad$$Отображение $$ϕ^t$$ часто называют эволюционным оператором динамической системы. Эволюционный оператор имеет два естественных свойства, которые отражают детерминированный характер поведения динамической системы. \[ ϕ^0 x = x,\ \forall x \in X\ \\ \label{eq:0} ϕ^{t+s} = ϕ^t◦ϕ^s\ \text{или}\ ϕ^{t+s}x = ϕ^t(ϕ^sx),\ \forall x \in X\ \]
$$\quad$$Другими словами, результат эволюции системы в течение $$t + s$$ единиц времени тот же самый, как если бы сначала зафиксировать изменение системы за s единиц времени и затем получить состояние измененной системы еще через $$t$$ единиц времени. Свойство
Определение динамической системы
$$\quad$$Динамической системой называется пара $${X,\ ϕ^t}$$, где $$X$$ — пространство состояний, $$ϕ^t$$ — однопараметрическое семейство эволюционных операторов, удовлетворяющее свойствам (1) и (2).
$$\quad$$Самый простой способ задать динамическую систему — указать эволюционный оператор в явном виде. Например, можно положить $$ϕ^1 = f(N) = 2N$$. То есть, за каждую единицу времени численность популяции увеличивается в 2 раза.
$$\quad$$Другой общий способ задания динамической системы — описать закон эволюции с помощью дифференциальных уравнений.
$$\quad$$Предположим, что пространство состояний динамической системы есть подмножество $$X = U ⊆ \mathbb{R}^n$$ с координатами $$u = (u_1, u_2, . . . , u_n)$$. Закон эволюции задается неявно, в терминах скоростей изменения координат: \[\dot{u} = f(u), u ∈ U ⊆ \mathbb{R}^n, f : U → \mathbb{R}^n\], или, в покоординатной форме записи,
\begin{equation*} \begin{cases} \dot{u}_1 = f_1(u_1, u_2, . . . , u_n),\\ \dot{u}_2 = f_2(u_1, u_2, . . . , u_n)),\\ ...\\ \dot{u}_n = f_n(u_1, u_2, . . . , u_n). \end{cases} \end{equation*}