Динамическая система: различия между версиями
Строка 18: | Строка 18: | ||
популяции велика, то скачки, вызванные рождением и смертью отдельных индивидуумов, выглядят пренебрежимо малыми на графике функции $$N(t)$$. Поэтому мы постулируем существование производной по времени $$\dfrac{dN(t)}{dt} = \lim\limits_{∆t→0}\dfrac{N(t + ∆t) − N(t)}{∆t} ≡ \dot{N}$$. | популяции велика, то скачки, вызванные рождением и смертью отдельных индивидуумов, выглядят пренебрежимо малыми на графике функции $$N(t)$$. Поэтому мы постулируем существование производной по времени $$\dfrac{dN(t)}{dt} = \lim\limits_{∆t→0}\dfrac{N(t + ∆t) − N(t)}{∆t} ≡ \dot{N}$$. | ||
− | + | $$\quad$$Величина $$\dfrac{\dot{N}}{N}$$ показывает средний вклад одного индивидуума в популяционный | |
− | Величина $$\dfrac{\dot{N}}{N}$$ показывает средний вклад одного индивидуума в популяционный | ||
рост. | рост. | ||
Строка 30: | Строка 29: | ||
'''Пример 3'''. | '''Пример 3'''. | ||
− | $$\quad$$ В случае примера 1, можно добавить в рассмотрение признаки особей. Предположим, что распределение по признаку непрерывно (скажем, если признак — вес индивидуума или его возраст). Если обозначить пространство признаков как $$Γ$$, то | + | $$\quad$$ В случае '''примера 1''', можно добавить в рассмотрение признаки особей. Предположим, что распределение по признаку непрерывно (скажем, если признак — вес индивидуума или его возраст). Если обозначить пространство признаков как $$Γ$$, то |
состояние системы описывается функцией $$N(γ, t), γ ∈ Γ$$. | состояние системы описывается функцией $$N(γ, t), γ ∈ Γ$$. | ||
− | + | ==Эволюционный оператор== | |
− | |||
− | + | '''Эволюция динамической системы''' означает изменение состояния системы со временем $$t ∈ T$$, где $$T$$ — [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE упорядоченное множество]. | |
− | Эволюция динамической системы означает изменение состояния системы со временем $$t ∈ T$$, где $$T$$ — упорядоченное множество. | ||
$$\quad$$В математической биологии применяются два типа динамических систем: '''непрерывные''' с временем $$T = \mathbb{R}$$ и '''дискретные''' с целочисленным временем $$T = Z$$. | $$\quad$$В математической биологии применяются два типа динамических систем: '''непрерывные''' с временем $$T = \mathbb{R}$$ и '''дискретные''' с целочисленным временем $$T = Z$$. | ||
Строка 45: | Строка 42: | ||
начальное состояние $$x_0$$ известно. | начальное состояние $$x_0$$ известно. | ||
− | $$\quad$$Самый общий способ описать закон эволюции | + | $$\quad$$Самый общий способ описать закон эволюции — '''задать отображение''': \[ϕ^t: X → X,\] которое переводит начальное состояние в состояние системы в момент $$t$$: $$x_t = ϕ^t x_0$$. |
$$\quad$$Отображение $$ϕ^t$$ часто называют '''эволюционным оператором''' динамической системы. | $$\quad$$Отображение $$ϕ^t$$ часто называют '''эволюционным оператором''' динамической системы. | ||
− | Эволюционный оператор имеет два естественных свойства, которые отражают детерминированный характер поведения динамической системы | + | Эволюционный оператор имеет два естественных свойства, которые отражают детерминированный характер поведения динамической системы: |
− | \ | + | \begin{equation} |
− | ϕ^0 x = x,\ \forall x \in X\ \\ | + | \label{eq:0} |
− | \label{eq: | + | ϕ^0 x = x,\ \forall x \in X,\\ |
− | ϕ^{t+s} = ϕ^t◦ϕ^s\ \text{или}\ ϕ^{t+s}x = ϕ^t(ϕ^sx),\ \forall x \in X\ | + | \end{equation} |
− | + | \begin{equation} | |
− | $$\quad$$Другими словами, результат эволюции системы в течение $$t + s$$ единиц времени тот же самый, как если | + | \label{eq:1} |
− | бы сначала зафиксировать изменение системы за s единиц времени и затем получить | + | ϕ^{t+s} = ϕ^t◦ϕ^s\ \text{или}\ ϕ^{t+s}x = ϕ^t(ϕ^sx),\ \forall x \in X. |
− | состояние измененной системы еще через $$t$$ единиц времени. | + | \end{equation} |
+ | $$\quad$$Другими словами, свойство \eqref{eq:0} означает, что динамическая система не изменяет своего состояния «спонтанно», а свойство \eqref{eq:1},что результат эволюции системы в течение $$t + s$$ единиц времени тот же самый, как если | ||
+ | бы сначала зафиксировать изменение системы за $$s$$ единиц времени и затем получить | ||
+ | состояние измененной системы еще через $$t$$ единиц времени. | ||
== Определение динамической системы == | == Определение динамической системы == | ||
− | $$\quad$$'''Динамической системой''' называется пара $${X,\ ϕ^t}$$, где $$X$$ — пространство состояний, $$ϕ^t$$ — однопараметрическое семейство эволюционных операторов, удовлетворяющее свойствам | + | $$\quad$$'''Динамической системой''' называется пара $${X,\ ϕ^t}$$, где $$X$$ — пространство состояний, $$ϕ^t$$ — однопараметрическое семейство эволюционных операторов, удовлетворяющее свойствам \eqref{eq:0} и \eqref{eq:1}. |
− | $$\quad$$Самый простой способ задать динамическую систему — указать эволюционный | + | $$\quad$$Самый простой способ задать динамическую систему — '''указать эволюционный |
− | оператор в явном виде. Например, можно положить $$ϕ^1 = f(N) = 2N$$. То есть, за | + | оператор в явном виде'''. Например, можно положить $$ϕ^1 = f(N) = 2N$$. То есть, за |
каждую единицу времени численность популяции увеличивается в 2 раза. | каждую единицу времени численность популяции увеличивается в 2 раза. | ||
− | $$\quad$$Другой общий способ задания динамической системы — описать закон эволюции | + | $$\quad$$Другой общий способ задания динамической системы — '''описать закон эволюции |
− | с помощью дифференциальных уравнений. | + | с помощью дифференциальных уравнений'''. |
$$\quad$$Предположим, что пространство состояний динамической системы есть подмножество $$X = U ⊆ \mathbb{R}^n$$ | $$\quad$$Предположим, что пространство состояний динамической системы есть подмножество $$X = U ⊆ \mathbb{R}^n$$ | ||
с координатами $$u = (u_1, u_2, . . . , u_n)$$. Закон эволюции задается | с координатами $$u = (u_1, u_2, . . . , u_n)$$. Закон эволюции задается | ||
неявно, в терминах скоростей изменения координат: | неявно, в терминах скоростей изменения координат: | ||
− | \[\dot{u} = f(u), u ∈ U ⊆ \mathbb{R}^n, f : U → \mathbb{R}^n\] | + | \[\dot{u} = f(u), u ∈ U ⊆ \mathbb{R}^n, f : U → \mathbb{R}^n,\] |
− | или, в покоординатной форме записи | + | или, в покоординатной форме записи: |
\begin{equation*} | \begin{equation*} | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
\dot{u}_1 = f_1(u_1, u_2, . . . , u_n),\\ | \dot{u}_1 = f_1(u_1, u_2, . . . , u_n),\\ | ||
− | \dot{u}_2 = f_2(u_1, u_2, . . . , u_n | + | \dot{u}_2 = f_2(u_1, u_2, . . . , u_n),\\ |
...\\ | ...\\ | ||
\dot{u}_n = f_n(u_1, u_2, . . . , u_n). | \dot{u}_n = f_n(u_1, u_2, . . . , u_n). | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
\end{equation*} | \end{equation*} | ||
+ | |||
+ | ==Список литературы== | ||
+ | |||
+ | 1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011. | ||
+ | |||
+ | 2. Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023. |
Версия 22:37, 3 декабря 2023
В этой статье вводится фундаментальное математическое понятие динамической системы. С помощью этого понятия можно строить отображения сложных биологических систем в формальные конструкции — математические модели.
Определение динамической системы является математической формализацией общей научной концепции детерминированного процесса. Процесс называется детерминированным, если весь его будущий ход и все его прошлое однозначно определяются состоянием в настоящее время.
Примеры
Пример 1.
$$\quad$$ Рассмотрим изолированную популяцию, находящуюся в неизменных условиях, не подвергающуюся внешнему воздействию, каждая особь которой имеет одинаковый доступ к ресурсам, а так же, одинаковую вероятность встретить (и таким образом конкурировать) другую особь популяции.
$$\quad$$ Так как численность не может быть отрицательной, то пространство состояний в данном примере $$X = \mathbb{R}^+$$, где $$\mathbb{R}^+ = \{N ∈ \mathbb{R}: N > 0\}$$. Здесь следует отметить, что если рассматривать численность как функцию времени, то очевидно, что эта функция целочисленна, т.е. $$N(t) ∈ {N ∈ Z: N > 0}$$. Величина $$\dfrac{N(t + ∆t) − N(t)}{∆t}$$ описывает среднюю скорость роста в интервале времени $$(t, t+∆t]$$. Если численность популяции велика, то скачки, вызванные рождением и смертью отдельных индивидуумов, выглядят пренебрежимо малыми на графике функции $$N(t)$$. Поэтому мы постулируем существование производной по времени $$\dfrac{dN(t)}{dt} = \lim\limits_{∆t→0}\dfrac{N(t + ∆t) − N(t)}{∆t} ≡ \dot{N}$$.
$$\quad$$Величина $$\dfrac{\dot{N}}{N}$$ показывает средний вклад одного индивидуума в популяционный рост.
Пример 2 (Экологическая система).
$$\quad$$ Состояние экологического сообщества в пределах определенной области $$Ω$$ может быть описано вектором с неотрицательными компонентами $$N = (N_1, N_2, . . . , N_n) ∈ \mathbb{R}^n_+$$, где $$N_i$$ — численность или плотность $$i$$-го вида. Здесь, очевидно, $$\mathbb{R}^n_+ = \{N ∈ \mathbb{R}^n: N > 0\}$$, где запись $$N > 0$$ для вектора $$N$$ обозначает, что $$N_i > 0$$ для всех $$i$$.
Пример 3.
$$\quad$$ В случае примера 1, можно добавить в рассмотрение признаки особей. Предположим, что распределение по признаку непрерывно (скажем, если признак — вес индивидуума или его возраст). Если обозначить пространство признаков как $$Γ$$, то состояние системы описывается функцией $$N(γ, t), γ ∈ Γ$$.
Эволюционный оператор
Эволюция динамической системы означает изменение состояния системы со временем $$t ∈ T$$, где $$T$$ — упорядоченное множество.
$$\quad$$В математической биологии применяются два типа динамических систем: непрерывные с временем $$T = \mathbb{R}$$ и дискретные с целочисленным временем $$T = Z$$.
$$\quad$$Основным компонентом любой динамической системы является закон эволюции, который определяет состояние системы $$x_t$$ в момент времени $$t$$, при условии, что начальное состояние $$x_0$$ известно.
$$\quad$$Самый общий способ описать закон эволюции — задать отображение: \[ϕ^t: X → X,\] которое переводит начальное состояние в состояние системы в момент $$t$$: $$x_t = ϕ^t x_0$$.
$$\quad$$Отображение $$ϕ^t$$ часто называют эволюционным оператором динамической системы. Эволюционный оператор имеет два естественных свойства, которые отражают детерминированный характер поведения динамической системы: \begin{equation} \label{eq:0} ϕ^0 x = x,\ \forall x \in X,\\ \end{equation} \begin{equation} \label{eq:1} ϕ^{t+s} = ϕ^t◦ϕ^s\ \text{или}\ ϕ^{t+s}x = ϕ^t(ϕ^sx),\ \forall x \in X. \end{equation} $$\quad$$Другими словами, свойство \eqref{eq:0} означает, что динамическая система не изменяет своего состояния «спонтанно», а свойство \eqref{eq:1},что результат эволюции системы в течение $$t + s$$ единиц времени тот же самый, как если бы сначала зафиксировать изменение системы за $$s$$ единиц времени и затем получить состояние измененной системы еще через $$t$$ единиц времени.
Определение динамической системы
$$\quad$$Динамической системой называется пара $${X,\ ϕ^t}$$, где $$X$$ — пространство состояний, $$ϕ^t$$ — однопараметрическое семейство эволюционных операторов, удовлетворяющее свойствам \eqref{eq:0} и \eqref{eq:1}.
$$\quad$$Самый простой способ задать динамическую систему — указать эволюционный оператор в явном виде. Например, можно положить $$ϕ^1 = f(N) = 2N$$. То есть, за каждую единицу времени численность популяции увеличивается в 2 раза.
$$\quad$$Другой общий способ задания динамической системы — описать закон эволюции с помощью дифференциальных уравнений.
$$\quad$$Предположим, что пространство состояний динамической системы есть подмножество $$X = U ⊆ \mathbb{R}^n$$ с координатами $$u = (u_1, u_2, . . . , u_n)$$. Закон эволюции задается неявно, в терминах скоростей изменения координат: \[\dot{u} = f(u), u ∈ U ⊆ \mathbb{R}^n, f : U → \mathbb{R}^n,\] или, в покоординатной форме записи:
\begin{equation*} \begin{cases} \dot{u}_1 = f_1(u_1, u_2, . . . , u_n),\\ \dot{u}_2 = f_2(u_1, u_2, . . . , u_n),\\ ...\\ \dot{u}_n = f_n(u_1, u_2, . . . , u_n). \end{cases} \end{equation*}
Список литературы
1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.
2. Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.