Интегральное преобразование Фурье: различия между версиями

Материал из sawiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
(не показана 1 промежуточная версия этого же участника)
Строка 28: Строка 28:
  
 
# Из того, что $$f(x)\in L_1(\mathbb{R})$$ следует, что $$|F(\lambda)| \leq \int\limits^{+\infty}_{-\infty} |f(t)| dt < \infty$$. Отсюда следует, что для $$f(\cdot)\in L_1(\mathbb{R})$$ существует ''прямое преобразование Фурье''. Аналогично для $$F(\lambda)\in L_1(\mathbb{R})$$ следует, что существует ''обратное преобразование Фурье''.
 
# Из того, что $$f(x)\in L_1(\mathbb{R})$$ следует, что $$|F(\lambda)| \leq \int\limits^{+\infty}_{-\infty} |f(t)| dt < \infty$$. Отсюда следует, что для $$f(\cdot)\in L_1(\mathbb{R})$$ существует ''прямое преобразование Фурье''. Аналогично для $$F(\lambda)\in L_1(\mathbb{R})$$ следует, что существует ''обратное преобразование Фурье''.
# Пусть $$f(x)$$ - дифференцируемая на $$\mathbb{R}$$ и существует $$\int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)| dt < \infty$$ и $$\int\limits_{\mathbb{R}} |f'(t)| dt < \infty$$
+
# Пусть $$f(x)$$ - дифференцируемая на $$\mathbb{R}$$ и существует $$\int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)| dt < \infty$$ и $$\int\limits_{\mathbb{R}} |f'(t)| dt < \infty$$. Тогда
  
 
\[
 
\[
Строка 38: Строка 38:
 
\end{aligned}
 
\end{aligned}
 
\right\} =\\
 
\right\} =\\
= \frac{1}{i\lambda}\int_{-\infty}^{+\infty} f'(t) e^{-it\lambda} dt \Rightarrow F(\lambda) \leq \frac{1}{|\lambda|} \int_{-\infty}^{+\infty} |f'(t)|dt = o\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)
+
= \frac{1}{i\lambda}\int_{-\infty}^{+\infty} f'(t) e^{-it\lambda} dt \Rightarrow F(\lambda) \leq \frac{1}{|\lambda|} \int_{-\infty}^{+\infty} |f'(t)|dt = o\left(\frac{1}{|\lambda|}\right).
 
\]
 
\]
 
<br>
 
<br>
Аналогично если $$f(t)\in C^m (\mathbb{R})$$ и существует $$\int\limits_{\mathbb{R}}|f^{(k)}(t)| dt < \infty, \quad \forall k = 1, \ldots m$$, то $$|F(\lambda)|=o\left(\frac{1}{|\lambda|^m}\right)$$ при $$\lambda\rightarrow\pm\infty$$.
+
Аналогично, если $$f(t)\in C^m (\mathbb{R})$$, и существует $$\int\limits_{\mathbb{R}}|f^{(k)}(t)| dt < \infty, \quad \forall k = 1, \ldots m$$, то $$|F(\lambda)|=o\left(\frac{1}{|\lambda|^m}\right)$$ при $$\lambda\rightarrow\pm\infty$$.
  
 
=== Дифференцирование ===
 
=== Дифференцирование ===
 
----
 
----
  
{|style="border-style: solid; border-color: green; background-color:#fefff4; border-width: 2px"
+
{|style="border-style: solid; border-color: green; background-color:#fefff4; border-width: 1px"
 
|
 
|
* $$(-it)^k f(t) \leftrightarrow F^{(k)}(\lambda)$$
+
* $$(-it)^k f(t) \leftrightarrow F^{(k)}(\lambda).$$
* $$f^{(k)}(t) \leftrightarrow (ik)^k F(\lambda)$$
+
* $$f^{(k)}(t) \leftrightarrow (ik)^k F(\lambda).$$
 
|}
 
|}
  
Строка 55: Строка 55:
 
----
 
----
  
{|style="border-style: solid; border-color: green; background-color:#fefff4; border-width: 2px"
+
{|style="border-style: solid; border-color: green; background-color:#fefff4; border-width: 1px"
 
|
 
|
$$f(\alpha t) \leftrightarrow \frac{1}{|\alpha|}F\left(\frac{1}{\lambda}\right), \quad \alpha\not=0 $$
+
$$f(\alpha t) \leftrightarrow \frac{1}{|\alpha|}F\left(\frac{1}{\lambda}\right), \quad \alpha\not=0. $$
 
|}
 
|}
  
Строка 71: Строка 71:
 
$$\qquad \Downarrow$$
 
$$\qquad \Downarrow$$
 
<br>
 
<br>
{|style="border-style: solid; border-color: green; background-color:#fefff4; border-width: 2px"
+
{|style="border-style: solid; border-color: green; background-color:#fefff4; border-width: 1px"
 
|
 
|
$$\forall \alpha, \beta \Rightarrow \alpha f(t) + \beta g(t)\leftrightarrow \alpha F(\lambda) + \beta G(\lambda)$$
+
$$\forall \alpha, \beta \Rightarrow \alpha f(t) + \beta g(t)\leftrightarrow \alpha F(\lambda) + \beta G(\lambda).$$
 
|}
 
|}
  
Строка 83: Строка 83:
 
$$\qquad \Downarrow$$
 
$$\qquad \Downarrow$$
 
<br>
 
<br>
{|style="border-style: solid; border-color: green; background-color:#fefff4; border-width: 2px"
+
{|style="border-style: solid; border-color: green; background-color:#fefff4; border-width: 1px"
 
|
 
|
$$F(t) \leftrightarrow 2\pi f(-\lambda)$$
+
$$F(t) \leftrightarrow 2\pi f(-\lambda).$$
 
|}
 
|}
  
Строка 99: Строка 99:
 
$$\qquad \Downarrow$$
 
$$\qquad \Downarrow$$
 
<br>
 
<br>
{|style="border-style: solid; border-color: green; background-color:#fefff4; border-width: 2px"
+
{|style="border-style: solid; border-color: green; background-color:#fefff4; border-width: 1px"
 
|
 
|
$$f(t-t_0)\leftrightarrow F(\lambda) e^{-it_0\lambda}$$
+
$$f(t-t_0)\leftrightarrow F(\lambda) e^{-it_0\lambda}.$$
 
|}
 
|}
  
 
''Распишем:'' Пусть $$g(t) = f(t - t_0)$$.  
 
''Распишем:'' Пусть $$g(t) = f(t - t_0)$$.  
 
<br>
 
<br>
$$G(\lambda) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-it\lambda} g(t) dt = \left\{ \begin{aligned} &t-t_0=s \\ &t=t_0+s \end{aligned} \right\} = \underbrace{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-is\lambda} f(s) ds}_{F(\lambda)} \cdot e^{-it_0\lambda}$$
+
$$G(\lambda) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-it\lambda} g(t) dt = \left\{ \begin{aligned} &t-t_0=s \\ &t=t_0+s \end{aligned} \right\} = \underbrace{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-is\lambda} f(s) ds}_{F(\lambda)} \cdot e^{-it_0\lambda}.$$
 
<br>
 
<br>
 
Тогда $$g(t)\leftrightarrow G(\lambda) = F(\lambda) e^{-it\lambda}$$.
 
Тогда $$g(t)\leftrightarrow G(\lambda) = F(\lambda) e^{-it\lambda}$$.
Строка 113: Строка 113:
 
----
 
----
  
$$\forall f(t)$$, $$g(t)$$
+
Для любых $$f(t)$$, $$g(t)$$ выполняется $$(f * g)(t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t-s)g(s)ds = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(s) g(t-s) ds$$.
<br>
 
$$(f * g)(t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t-s)g(s)ds = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(s) g(t-s) ds$$
 
 
<br>
 
<br>
 
* $$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$ <br> $$g(t)\leftrightarrow G(\lambda)$$  
 
* $$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$ <br> $$g(t)\leftrightarrow G(\lambda)$$  
{|style="border-style: solid; border-color: green; background-color:#fefff4; border-width: 2px"
+
{|style="border-style: solid; border-color: green; background-color:#fefff4; border-width: 1px"
 
|
 
|
$$(f * g)(t) \leftrightarrow F(\lambda)G(\lambda)$$
+
$$(f * g)(t) \leftrightarrow F(\lambda)G(\lambda).$$
 
|}  
 
|}  
''Распишем:'' $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-it\lambda} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t-s)g(s)dsdt =$$ [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A2%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B8_%E2%80%94_%D0%A4%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B8 Т. Фубини] $$= \left( \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t-s) e^{-i\lambda (t-s)} \left( \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g(s) e^{-is\lambda} ds \right) d(t-s)\right) = F(\lambda)G(\lambda)$$
+
''Распишем:'' $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-it\lambda} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t-s)g(s)dsdt =$$ [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A2%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B8_%E2%80%94_%D0%A4%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B8 Т. Фубини] $$= \left( \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t-s) e^{-i\lambda (t-s)} \left( \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g(s) e^{-is\lambda} ds \right) d(t-s)\right) = F(\lambda)G(\lambda).$$
 
* $$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$ <br> $$g(t)\leftrightarrow G(\lambda)$$ <br> $$F(t)\leftrightarrow 2\pi f(-\lambda)$$ <br> $$G(t) \leftrightarrow 2\pi g(-\lambda)$$ <br> $$\qquad \Downarrow$$
 
* $$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$ <br> $$g(t)\leftrightarrow G(\lambda)$$ <br> $$F(t)\leftrightarrow 2\pi f(-\lambda)$$ <br> $$G(t) \leftrightarrow 2\pi g(-\lambda)$$ <br> $$\qquad \Downarrow$$
{|style="border-style: solid; border-color: green; background-color:#fefff4; border-width: 2px"
+
{|style="border-style: solid; border-color: green; background-color:#fefff4; border-width: 1px"
 
|
 
|
$$f(t)g(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}(F*G)(\lambda)$$
+
$$f(t)g(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}(F*G)(\lambda).$$
 
|}
 
|}
''Распишем:'' $$(F * G)(t) \leftrightarrow 4\pi^2 f(-\lambda)g(-\lambda) \Leftrightarrow \frac{1}{2\pi}(F*G)(t) \leftrightarrow 2\pi f(-\lambda)g(-\lambda)$$
+
''Распишем:'' $$(F * G)(t) \leftrightarrow 4\pi^2 f(-\lambda)g(-\lambda) \Leftrightarrow \frac{1}{2\pi}(F*G)(t) \leftrightarrow 2\pi f(-\lambda)g(-\lambda).$$
  
 
=== Интегрирование ===
 
=== Интегрирование ===
Строка 137: Строка 135:
 
$$\qquad \Downarrow$$
 
$$\qquad \Downarrow$$
 
<br>
 
<br>
{|style="border-style: solid; border-color: green; background-color:#fefff4; border-width: 2px"
+
{|style="border-style: solid; border-color: green; background-color:#fefff4; border-width: 1px"
 
|
 
|
$$\int\limits_{-\infty}^{t} f(\xi) d\xi \leftrightarrow \frac{1}{i\lambda}F(\lambda)$$
+
$$\int\limits_{-\infty}^{t} f(\xi) d\xi \leftrightarrow \frac{1}{i\lambda}F(\lambda).$$
 
|}
 
|}
  
 
Пусть $$\int\limits_{-\infty}^{t} f(\xi) d\xi = g(t)\in L_1(\mathbb{R}), \quad f(t)\in L_1(\mathbb{R}) \Rightarrow g(t)\rightarrow0$$ при $$t\rightarrow \pm\infty$$.
 
Пусть $$\int\limits_{-\infty}^{t} f(\xi) d\xi = g(t)\in L_1(\mathbb{R}), \quad f(t)\in L_1(\mathbb{R}) \Rightarrow g(t)\rightarrow0$$ при $$t\rightarrow \pm\infty$$.
 
<br>
 
<br>
''Распишем:'' $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-it\lambda} \int\limits_{-\infty}^{t} f(\xi) d\xi dt = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{t} f(\xi)d\xi \frac{d(e^{-it\lambda})}{-i\lambda}$$ = $$\left.\left( \underbrace{\left( \int\limits_{-\infty}^{t} f(\xi) d\xi\right)}_{g(t)\rightarrow 0} \frac{e^{-it\lambda}}{-i\lambda}\right)\right|_{-\infty}^{+\infty}$$ + $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \frac{e^{-it\lambda}}{i\lambda} dt$$ = $$\frac{1}{i\lambda}F(\lambda)$$
+
''Распишем:'' $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-it\lambda} \int\limits_{-\infty}^{t} f(\xi) d\xi dt = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{t} f(\xi)d\xi \frac{d(e^{-it\lambda})}{-i\lambda}$$ = $$\left.\left( \underbrace{\left( \int\limits_{-\infty}^{t} f(\xi) d\xi\right)}_{g(t)\rightarrow 0} \frac{e^{-it\lambda}}{-i\lambda}\right)\right|_{-\infty}^{+\infty}$$ + $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \frac{e^{-it\lambda}}{i\lambda} dt$$ = $$\frac{1}{i\lambda}F(\lambda).$$
  
 
=== Равенство Парсеваля-Планшереля ===
 
=== Равенство Парсеваля-Планшереля ===
Строка 155: Строка 153:
 
$$\qquad \Downarrow$$
 
$$\qquad \Downarrow$$
 
<br>
 
<br>
{|style="border-style: solid; border-color: green; background-color:#fefff4; border-width: 2px"
+
{|style="border-style: solid; border-color: green; background-color:#fefff4; border-width: 1px"
 
|
 
|
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} F(\lambda)\overline{G(\lambda)}d\lambda = 2\pi \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t)\overline{g(t)}dt$$
+
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} F(\lambda)\overline{G(\lambda)}d\lambda = 2\pi \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t)\overline{g(t)}dt.$$
 
|}
 
|}
  
 
''Распишем:'' $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} F(\lambda)\overline{G(\lambda)}d\lambda = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left( \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-it\lambda} dt\right) \overline{G(\lambda)}d\lambda =$$ [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A2%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B8_%E2%80%94_%D0%A4%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B8 Т. Фубини] $$= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \overline{G(\lambda) e^{it\lambda}}d\lambda dt = 2\pi \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t)  \underbrace{ \overline{\left( \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} G(\lambda) e^{it\lambda} d\lambda\right)}}_{g(t)}  dt = 2\pi \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t)\overline{g(t)}dt$$.
 
''Распишем:'' $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} F(\lambda)\overline{G(\lambda)}d\lambda = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left( \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-it\lambda} dt\right) \overline{G(\lambda)}d\lambda =$$ [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A2%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B8_%E2%80%94_%D0%A4%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B8 Т. Фубини] $$= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \overline{G(\lambda) e^{it\lambda}}d\lambda dt = 2\pi \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t)  \underbrace{ \overline{\left( \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} G(\lambda) e^{it\lambda} d\lambda\right)}}_{g(t)}  dt = 2\pi \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t)\overline{g(t)}dt$$.
 
<br>
 
<br>
'''Следствие:''' $$\underbrace{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} |F(\lambda)|^2 d\lambda}_{\text{Энергия в пространстве образов}} = 2\pi\underbrace{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|^2 dt}_{\text{Энергия в исходном пространстве}}$$
+
'''Следствие:''' $$\underbrace{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} |F(\lambda)|^2 d\lambda}_{\text{Энергия в пространстве образов}} = 2\pi\underbrace{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|^2 dt}_{\text{Энергия в исходном пространстве}}.$$

Текущая версия на 21:34, 4 декабря 2020

Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами (подобно тому, как музыкальный аккорд может быть выражен в виде суммы музыкальных звуков, которые его составляют).

Определение

Прямое преобразование

Преобразование Фурье функции $$f(t)$$ вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:

\[ F(\lambda) = \int\limits^{+\infty}_{-\infty} f(t) e^{-i\lambda t} dt, \quad F(\cdot): \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}. \]

Обратное преобразование

\[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int\limits^{+\infty}_{-\infty} F(\lambda) e^{i\lambda t} d\lambda, \quad f(\cdot): \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}. \]

Cвойства

Обозначим Преобразование Фурье $$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$, где

  • $$\rightarrow$$ прямое
  • $$\leftarrow$$ обратное
  1. Из того, что $$f(x)\in L_1(\mathbb{R})$$ следует, что $$|F(\lambda)| \leq \int\limits^{+\infty}_{-\infty} |f(t)| dt < \infty$$. Отсюда следует, что для $$f(\cdot)\in L_1(\mathbb{R})$$ существует прямое преобразование Фурье. Аналогично для $$F(\lambda)\in L_1(\mathbb{R})$$ следует, что существует обратное преобразование Фурье.
  2. Пусть $$f(x)$$ - дифференцируемая на $$\mathbb{R}$$ и существует $$\int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)| dt < \infty$$ и $$\int\limits_{\mathbb{R}} |f'(t)| dt < \infty$$. Тогда

\[ F(\lambda) = \left(-\frac{1}{i\lambda}\right) f(t)e^{it\lambda}\Bigl|_{-\infty}^{+\infty} + \frac{1}{i\lambda}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f'(t) e^{-it\lambda} dt =\\ = \left\{ \begin{aligned} & f(+\infty)-f(0) = \int\limits_{0}^{+\infty} f'(t) dt < \infty \Rightarrow \exists f(+\infty) \\ & \text{Если}\quad f(+\infty)\not= 0 \Rightarrow \int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)|dt = +\infty\Rightarrow \text{Противоречие} \quad\Rightarrow f(+\infty)= 0 \end{aligned} \right\} =\\ = \frac{1}{i\lambda}\int_{-\infty}^{+\infty} f'(t) e^{-it\lambda} dt \Rightarrow F(\lambda) \leq \frac{1}{|\lambda|} \int_{-\infty}^{+\infty} |f'(t)|dt = o\left(\frac{1}{|\lambda|}\right). \]
Аналогично, если $$f(t)\in C^m (\mathbb{R})$$, и существует $$\int\limits_{\mathbb{R}}|f^{(k)}(t)| dt < \infty, \quad \forall k = 1, \ldots m$$, то $$|F(\lambda)|=o\left(\frac{1}{|\lambda|^m}\right)$$ при $$\lambda\rightarrow\pm\infty$$.

Дифференцирование


  • $$(-it)^k f(t) \leftrightarrow F^{(k)}(\lambda).$$
  • $$f^{(k)}(t) \leftrightarrow (ik)^k F(\lambda).$$

Масштабирование


$$f(\alpha t) \leftrightarrow \frac{1}{|\alpha|}F\left(\frac{1}{\lambda}\right), \quad \alpha\not=0. $$

Следствие: Пусть $$\alpha = -1$$. Тогда $$f(-t)\leftrightarrow F(-\lambda) \Rightarrow$$ свойства чётности и нечётности переносится и на преобразование Фурье.

Линейность


$$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$
$$g(t) \leftrightarrow G(\lambda)$$
$$\qquad \Downarrow$$

$$\forall \alpha, \beta \Rightarrow \alpha f(t) + \beta g(t)\leftrightarrow \alpha F(\lambda) + \beta G(\lambda).$$

Симметричность


$$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$
$$\qquad \Downarrow$$

$$F(t) \leftrightarrow 2\pi f(-\lambda).$$

Распишем: $$F(\lambda) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-it\lambda} f(t) dt = \left\{ \text{Пусть } s=-t\right\} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{is\lambda} f (-s) ds = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \left(2\pi f(-s)\right) e^{is\lambda}ds$$.
Важно: Не забыть знак и $$2\pi$$.

Сдвиг


$$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$
$$\qquad \Downarrow$$

$$f(t-t_0)\leftrightarrow F(\lambda) e^{-it_0\lambda}.$$

Распишем: Пусть $$g(t) = f(t - t_0)$$.
$$G(\lambda) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-it\lambda} g(t) dt = \left\{ \begin{aligned} &t-t_0=s \\ &t=t_0+s \end{aligned} \right\} = \underbrace{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-is\lambda} f(s) ds}_{F(\lambda)} \cdot e^{-it_0\lambda}.$$
Тогда $$g(t)\leftrightarrow G(\lambda) = F(\lambda) e^{-it\lambda}$$.

Свёртка (интегральная конволюция)


Для любых $$f(t)$$, $$g(t)$$ выполняется $$(f * g)(t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t-s)g(s)ds = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(s) g(t-s) ds$$.

  • $$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$
    $$g(t)\leftrightarrow G(\lambda)$$

$$(f * g)(t) \leftrightarrow F(\lambda)G(\lambda).$$

Распишем: $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-it\lambda} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t-s)g(s)dsdt =$$ Т. Фубини $$= \left( \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t-s) e^{-i\lambda (t-s)} \left( \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g(s) e^{-is\lambda} ds \right) d(t-s)\right) = F(\lambda)G(\lambda).$$

  • $$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$
    $$g(t)\leftrightarrow G(\lambda)$$
    $$F(t)\leftrightarrow 2\pi f(-\lambda)$$
    $$G(t) \leftrightarrow 2\pi g(-\lambda)$$
    $$\qquad \Downarrow$$

$$f(t)g(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}(F*G)(\lambda).$$

Распишем: $$(F * G)(t) \leftrightarrow 4\pi^2 f(-\lambda)g(-\lambda) \Leftrightarrow \frac{1}{2\pi}(F*G)(t) \leftrightarrow 2\pi f(-\lambda)g(-\lambda).$$

Интегрирование


$$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$
$$\qquad \Downarrow$$

$$\int\limits_{-\infty}^{t} f(\xi) d\xi \leftrightarrow \frac{1}{i\lambda}F(\lambda).$$

Пусть $$\int\limits_{-\infty}^{t} f(\xi) d\xi = g(t)\in L_1(\mathbb{R}), \quad f(t)\in L_1(\mathbb{R}) \Rightarrow g(t)\rightarrow0$$ при $$t\rightarrow \pm\infty$$.
Распишем: $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-it\lambda} \int\limits_{-\infty}^{t} f(\xi) d\xi dt = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{t} f(\xi)d\xi \frac{d(e^{-it\lambda})}{-i\lambda}$$ = $$\left.\left( \underbrace{\left( \int\limits_{-\infty}^{t} f(\xi) d\xi\right)}_{g(t)\rightarrow 0} \frac{e^{-it\lambda}}{-i\lambda}\right)\right|_{-\infty}^{+\infty}$$ + $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \frac{e^{-it\lambda}}{i\lambda} dt$$ = $$\frac{1}{i\lambda}F(\lambda).$$

Равенство Парсеваля-Планшереля


$$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$
$$g(t)\leftrightarrow G(\lambda)$$
$$\qquad \Downarrow$$

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} F(\lambda)\overline{G(\lambda)}d\lambda = 2\pi \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t)\overline{g(t)}dt.$$

Распишем: $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} F(\lambda)\overline{G(\lambda)}d\lambda = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left( \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-it\lambda} dt\right) \overline{G(\lambda)}d\lambda =$$ Т. Фубини $$= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \overline{G(\lambda) e^{it\lambda}}d\lambda dt = 2\pi \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \underbrace{ \overline{\left( \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} G(\lambda) e^{it\lambda} d\lambda\right)}}_{g(t)} dt = 2\pi \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t)\overline{g(t)}dt$$.
Следствие: $$\underbrace{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} |F(\lambda)|^2 d\lambda}_{\text{Энергия в пространстве образов}} = 2\pi\underbrace{\int\limits_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|^2 dt}_{\text{Энергия в исходном пространстве}}.$$