Интегральное преобразование Фурье: различия между версиями
Alice1 (обсуждение | вклад) |
Alice1 (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 23: | Строка 23: | ||
== Cвойства == | == Cвойства == | ||
| + | Обозначим ''Преобразование Фурье'' $$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$, где | ||
| + | * $$\rightarrow$$ прямое | ||
| + | * $$\leftarrow$$ обратное | ||
# Из того, что $$f(x)\in L_1(\mathbb{R})$$ следует, что $$|F(\lambda)| \leq \int\limits^{+\infty}_{-\infty} |f(t)| dt < \infty$$. Отсюда следует, что для $$f(\cdot)\in L_1(\mathbb{R})$$ существует ''прямое преобразование Фурье''. Аналогично для $$F(\lambda)\in L_1(\mathbb{R})$$ следует, что существует ''обратное преобразование Фурье''. | # Из того, что $$f(x)\in L_1(\mathbb{R})$$ следует, что $$|F(\lambda)| \leq \int\limits^{+\infty}_{-\infty} |f(t)| dt < \infty$$. Отсюда следует, что для $$f(\cdot)\in L_1(\mathbb{R})$$ существует ''прямое преобразование Фурье''. Аналогично для $$F(\lambda)\in L_1(\mathbb{R})$$ следует, что существует ''обратное преобразование Фурье''. | ||
# Пусть $$f(x)$$ - дифференцируемая на $$\mathbb{R}$$ и существует $$\int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)| dt < \infty$$ и $$\int\limits_{\mathbb{R}} |f'(t)| dt < \infty$$ | # Пусть $$f(x)$$ - дифференцируемая на $$\mathbb{R}$$ и существует $$\int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)| dt < \infty$$ и $$\int\limits_{\mathbb{R}} |f'(t)| dt < \infty$$ | ||
| + | |||
| + | \[ | ||
| + | F(\lambda) = \left(-\frac{1}{i\lambda}\right) f(t)e^{it\lambda}\Bigl|_{-\infty}^{+\infty} + \frac{1}{i\lambda}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f'(t) e^{-it\lambda} dt =\\ | ||
| + | = \left\{ | ||
| + | \begin{aligned} | ||
| + | & f(+\infty)-f(0) = \int\limits_{0}^{+\infty} f'(t) dt < \infty \Rightarrow \exists f(+\infty) \\ | ||
| + | & \text{Если}\quad f(+\infty)\not= 0 \Rightarrow \int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)|dt = +\infty\Rightarrow \text{Противоречие} \quad\Rightarrow f(+\infty)= 0 | ||
| + | \end{aligned} | ||
| + | \right\} =\\ | ||
| + | = \frac{1}{i\lambda}\int_{-\infty}^{+\infty} f'(t) e^{-it\lambda} dt \Rightarrow F(\lambda) \leq \frac{1}{|\lambda|} \int_{-\infty}^{+\infty} |f'(t)|dt = o\left(\frac{1}{|\lambda|}\right) | ||
| + | \] | ||
| + | |||
| + | Аналогично если $$f(t)\in C^m (\mathbb{R})$$ и существует $$\int\limits_{\mathbb{R}}|f^{(k)}(t)| dt < \infty, \quad \forall k = 1, \ldots m$$, то $$|F(\lambda)|=o\left(\frac{1}{|\lambda|^m}\right)$$ при $$\lambda\rightarrow\pm\infty$$. | ||
| + | |||
| + | === Дифференцирование === | ||
| + | |||
| + | * $$(-it)^k f(t) \leftrightarrow F^{(k)}(\lambda)$$ | ||
| + | * $$f^{(k)}(t) \leftrightarrow (ik)^k F(\lambda)$$ | ||
| + | |||
| + | === Масштабирование === | ||
Версия 18:04, 18 ноября 2020
Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами (подобно тому, как музыкальный аккорд может быть выражен в виде суммы музыкальных звуков, которые его составляют).
Содержание
Определение
Прямое преобразование
Преобразование Фурье функции $$f(t)$$ вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:
| \[ F(\lambda) = \int\limits^{+\infty}_{-\infty} f(t) e^{-i\lambda t} dt, \quad F(\cdot): \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}. \] |
Обратное преобразование
| \[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int\limits^{+\infty}_{-\infty} F(\lambda) e^{i\lambda t} d\lambda, \quad f(\cdot): \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}. \] |
Cвойства
Обозначим Преобразование Фурье $$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$, где
- $$\rightarrow$$ прямое
- $$\leftarrow$$ обратное
- Из того, что $$f(x)\in L_1(\mathbb{R})$$ следует, что $$|F(\lambda)| \leq \int\limits^{+\infty}_{-\infty} |f(t)| dt < \infty$$. Отсюда следует, что для $$f(\cdot)\in L_1(\mathbb{R})$$ существует прямое преобразование Фурье. Аналогично для $$F(\lambda)\in L_1(\mathbb{R})$$ следует, что существует обратное преобразование Фурье.
- Пусть $$f(x)$$ - дифференцируемая на $$\mathbb{R}$$ и существует $$\int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)| dt < \infty$$ и $$\int\limits_{\mathbb{R}} |f'(t)| dt < \infty$$
\[ F(\lambda) = \left(-\frac{1}{i\lambda}\right) f(t)e^{it\lambda}\Bigl|_{-\infty}^{+\infty} + \frac{1}{i\lambda}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f'(t) e^{-it\lambda} dt =\\ = \left\{ \begin{aligned} & f(+\infty)-f(0) = \int\limits_{0}^{+\infty} f'(t) dt < \infty \Rightarrow \exists f(+\infty) \\ & \text{Если}\quad f(+\infty)\not= 0 \Rightarrow \int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)|dt = +\infty\Rightarrow \text{Противоречие} \quad\Rightarrow f(+\infty)= 0 \end{aligned} \right\} =\\ = \frac{1}{i\lambda}\int_{-\infty}^{+\infty} f'(t) e^{-it\lambda} dt \Rightarrow F(\lambda) \leq \frac{1}{|\lambda|} \int_{-\infty}^{+\infty} |f'(t)|dt = o\left(\frac{1}{|\lambda|}\right) \]
Аналогично если $$f(t)\in C^m (\mathbb{R})$$ и существует $$\int\limits_{\mathbb{R}}|f^{(k)}(t)| dt < \infty, \quad \forall k = 1, \ldots m$$, то $$|F(\lambda)|=o\left(\frac{1}{|\lambda|^m}\right)$$ при $$\lambda\rightarrow\pm\infty$$.
Дифференцирование
- $$(-it)^k f(t) \leftrightarrow F^{(k)}(\lambda)$$
- $$f^{(k)}(t) \leftrightarrow (ik)^k F(\lambda)$$
