Интегральное преобразование Фурье

Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами (подобно тому, как музыкальный аккорд может быть выражен в виде суммы музыкальных звуков, которые его составляют).

Определение

Прямое преобразование

Преобразование Фурье функции $$f(t)$$ вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:

\[ F(\lambda) = \int\limits^{+\infty}_{-\infty} f(t) e^{-i\lambda t} dt, \quad F(\cdot): \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}. \]

Обратное преобразование

\[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int\limits^{+\infty}_{-\infty} F(\lambda) e^{i\lambda t} d\lambda, \quad f(\cdot): \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}. \]

Cвойства

Обозначим Преобразование Фурье $$f(t) \leftrightarrow F(\lambda)$$, где

• $$\rightarrow$$ прямое
• $$\leftarrow$$ обратное

1. Из того, что $$f(x)\in L_1(\mathbb{R})$$ следует, что $$|F(\lambda)| \leq \int\limits^{+\infty}_{-\infty} |f(t)| dt < \infty$$. Отсюда следует, что для $$f(\cdot)\in L_1(\mathbb{R})$$ существует прямое преобразование Фурье. Аналогично для $$F(\lambda)\in L_1(\mathbb{R})$$ следует, что существует обратное преобразование Фурье.
2. Пусть $$f(x)$$ - дифференцируемая на $$\mathbb{R}$$ и существует $$\int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)| dt < \infty$$ и $$\int\limits_{\mathbb{R}} |f'(t)| dt < \infty$$

\[ F(\lambda) = \left(-\frac{1}{i\lambda}\right) f(t)e^{it\lambda}\Bigl|_{-\infty}^{+\infty} + \frac{1}{i\lambda}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f'(t) e^{-it\lambda} dt =\\ = \left\{ \begin{aligned} & f(+\infty)-f(0) = \int\limits_{0}^{+\infty} f'(t) dt < \infty \Rightarrow \exists f(+\infty) \\ & \text{Если}\quad f(+\infty)\not= 0 \Rightarrow \int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)|dt = +\infty\Rightarrow \text{Противоречие} \quad\Rightarrow f(+\infty)= 0 \end{aligned} \right\} =\\ = \frac{1}{i\lambda}\int_{-\infty}^{+\infty} f'(t) e^{-it\lambda} dt \Rightarrow F(\lambda) \leq \frac{1}{|\lambda|} \int_{-\infty}^{+\infty} |f'(t)|dt = o\left(\frac{1}{|\lambda|}\right) \]

Аналогично если $$f(t)\in C^m (\mathbb{R})$$ и существует $$\int\limits_{\mathbb{R}}|f^{(k)}(t)| dt < \infty, \quad \forall k = 1, \ldots m$$, то $$|F(\lambda)|=o\left(\frac{1}{|\lambda|^m}\right)$$ при $$\lambda\rightarrow\pm\infty$$.

Дифференцирование

• $$(-it)^k f(t) \leftrightarrow F^{(k)}(\lambda)$$
• $$f^{(k)}(t) \leftrightarrow (ik)^k F(\lambda)$$