Лемма о перестановке интеграла и супремума

Лемма о перестановке интеграла и супремума возникает в задаче быстродействия (т.е. поиска управления, оптимального по времени) и применяется для облегчения расчета опорной функции множества достижимости.

Задача быстродействия

Тип задач оптимального управления, заключающегося в переводе системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, за минимальное время.

Пусть наша система описывается следующими условиями:

\[ \left\{\begin{aligned} & \dot{x} = A(t)x(t) + B(t)u(t)+f(t), \\ & x(t_0) = x^0, \\ & x(t_1) = x^1, \\ & u(\tau) \in \mathcal{P} \in \textit{conv}R^m, \\ & t_1 - t_0 \longrightarrow \text{inf}, \end{aligned}\right. \]

где $$ x^0,\,x^1,\,t_0 $$ - фиксированы, $$ A(t),\,B(t),\,f(t) $$ - непрерывны, а $$ \mathcal{P} $$ непрерывно, как многозначное отображение (это требование гарантирует нам непрерывность опорной функции $$ \mathcal{\rho(l|\mathcal{P}(\tau))} $$ по $$ \tau $$ для любого $$ l $$).

Пример ссылки

Пример гиф/картинки

Переменная $$x$$

Жирный шрифт

• таки перечисление 1,
• таки перечисление 2.