Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля: различия между версиями

Материал из sawiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 42: Строка 42:
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
</math>
 
</math>
Обозначим за <math> a' </math> первые <math> n - 1 </math> координаты точки <math> a </math>, а <math> \xi' </math> примем равным <math> (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),</math> причём <math> \xi' </math> будем брать из <math> U_{a'} </math>. Тогда система <math> \eqref{eq1}</math> задаёт в зависимости от начальных условий фазовую траекторию, которую выпустили с <math> U_a \cap \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>. Тут важно отметить, что в силу <math> \dot{x}_n(a) \neq 0</math>, нам достаточно анализировать только траектории, лежащие в малой окрестности точки <math> a </math>, пересекающие <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда  решение не имеет общих точек с рассматриваемой гиперплоскостью, но лежит в окрестности <math> a </math>, считаем несущественным, так как будет понятно в дальнейшем: на выпрямление векторного поля он не влияют. Рис. 1, на котором красным цветом изображена наша точка <math> a </math>, синим<math>~- </math> пересечения орбит с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, зелёным<math>~- </math> окрестность <math> U_a </math> в пересечении с исследуемой гиперплоскостью, иллюстрирует приведённые умозаключения. Наши рассуждения позволяют провести взаимнооднозначное соответствие между "существенными" траекториями из окрестности точки <math> a </math> и координатами их пересечений с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать траектории. <br>
+
Обозначим за <math> a' </math> первые <math> n - 1 </math> координаты точки <math> a </math>, а <math> \xi' </math> примем равным <math> (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),</math> причём <math> \xi' </math> будем брать из <math> U_{a'} </math>. Тогда система <math> \eqref{eq1}</math> задаёт в зависимости от начальных условий фазовую траекторию, которую выпустили с <math> U_a \cap \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>. Тут важно отметить, что в силу <math> \dot{x}_n(a) \neq 0</math>, нам достаточно анализировать только траектории, лежащие в малой окрестности точки <math> a </math>, пересекающие <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда  решение не имеет общих точек с рассматриваемой гиперплоскостью, но лежит в окрестности <math> a </math>, считаем несущественным, так как будет понятно в дальнейшем: на выпрямление векторного поля он не влияет. Рис. 1, на котором красным цветом изображена наша точка <math> a </math>, синим<math>~- </math> пересечения орбит с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, зелёным<math>~- </math> окрестность <math> U_a </math> в пересечении с исследуемой гиперплоскостью, иллюстрирует наши умозаключения. Приведённые рассуждения позволяют провести взаимнооднозначное соответствие между "существенными" траекториями из окрестности точки <math> a </math> и координатами их пересечений с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать траектории. <br>
 
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, а начальные условия <math> \eqref{eq1}</math> перепишем в виде <math> \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n </math> (в момент времени 0 находимся в точке <math> (\xi', a_n) </math>). Теперь покажем, что <math> y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t </math> является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).:
 
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, а начальные условия <math> \eqref{eq1}</math> перепишем в виде <math> \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n </math> (в момент времени 0 находимся в точке <math> (\xi', a_n) </math>). Теперь покажем, что <math> y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t </math> является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).:
 
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, </math>
 
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, </math>
Строка 50: Строка 50:
 
\dfrac{\partial{\psi}_i}{\partial{y}_j}\bigg{|}_{t = 0} = \delta_{ij}, \ \ \ i = \overline{1, n}, j = \overline{1, n-1},  
 
\dfrac{\partial{\psi}_i}{\partial{y}_j}\bigg{|}_{t = 0} = \delta_{ij}, \ \ \ i = \overline{1, n}, j = \overline{1, n-1},  
 
</math>
 
</math>
так как частные производные берём не по <math> n-ой</math> координате, то можем её значение <math> y_n = t = 0</math> подставить сразу (<math> \psi_i(0, y') = \xi_i = y_i </math>). <math> \delta_{ij}</math> здесь это символ кронекера.
+
так как частные производные берём не по <math> n</math>-ой координате, то можем её значение <math> y_n = t = 0</math> подставить сразу (<math> \psi_i(0, y') = \xi_i = y_i </math>). <math> \delta_{ij}</math> здесь это символ кронекера. :
 
<math>  
 
<math>  
\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_n}\bigg{|}_{t = 0} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}\bigg{|}_{t = 0} = \bigg{\{} \dfrac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t} = \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_k}} \dfrac{\mathrm{d}{y}_k}{\mathrm{d}{t}} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}, по\  доказанному \ выше \bigg{\}} = \dfrac{\mathrm{d}{x}_n}{\mathrm{d}{t}}\bigg{|}_{t = 0} = f_n(\xi', a_n) \neq 0.
+
\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_n}\bigg{|}_{t = 0} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}\bigg{|}_{t = 0} = \bigg{\{} \dfrac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t} = \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_k}} \dfrac{\mathrm{d}{y}_k}{\mathrm{d}{t}} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}, по\  доказанному \ выше \bigg{\}} = \dfrac{\mathrm{d}{x}_n}{\mathrm{d}{t}}\bigg{|}_{t = 0} = f_n(\xi', a_n) \neq 0,
 
</math>
 
</math>
Записывая якобиан для замены переменных в момент времени <math> t = 0</math>, получим:
+
окрестность <math> U_a</math> подбирается таким образом, чтобы сохранялось <math> f_n(\xi', a_n) \neq 0 </math>. Записывая якобиан для замены переменных в момент времени <math> t = 0</math>, получим:
 
<math>  
 
<math>  
 
\mathcal{J} = \begin{vmatrix}
 
\mathcal{J} = \begin{vmatrix}

Версия 23:38, 16 декабря 2023

Определение и основные свойства

Матрицей Якоби, системы из \( m \) функций \( \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_m(x_1, x_2, \dots, x_n) \} \) по переменным \( x_1, \dots, x_n \) в точке \( \bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n) \) называется матрица, составленная из всевозможных частных производных этих функций, взятых в рассматриваемой точке\[ J(\bar{x}) = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\ \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\ \end{pmatrix}. \] В частном случае, при \( m = 1 \) матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор называется градиентом функции \( f(x_1, \dots, x_n) \) в точке \( \bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n): \)\[ grad \ f(\bar{x}) = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\ \end{pmatrix}. \] Можно сказать, что в общем случае системы функций их матрица Якоби состоит из строк, являющихся градиентами этих функций.
В другом частном случае, когда \( m = n \), матрица Якоби становится квадратной и тогда ее определитель называется якобианом или определителем Якоби или функциональным определителем системы из \( n \) функций \( \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) \} \) по переменным \( x_1, \dots, x_n: \)\[ \mathcal{J}(x_1, \dots, x_n) = \dfrac{D(f_1, \dots, f_n)}{D(x_1, \dots, x_n)}= \begin{vmatrix} \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(x) \\ \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(x) \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_n}}(x) \\ \end{vmatrix}. \]

Лемма о выпрямлении векторного поля

Пусть нам задана система\[ \dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n} \] и некоторая нестационарная точка \( a \) (\(f(a) \neq 0 \)), тогда найдётся такая окрестность \( U_a\) и новые координаты \( y_1, \dots, y_n\), определяемые как \( x_i = \psi_i(y_1, \dots, y_n) \), такие, что\[ \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1, \ \ \ i = \overline{1, n-1}.\] Доказательство.
Не умаляя общности, будем считать, что \( f_n(a) \neq 0 \) (пользуемся тем, что \( f(a) \neq 0 \)). Рассмотрим задачу Коши\[ \begin{equation}\label{eq1} \begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, \\ x_1(0) = \xi_1, \ \dots, \ x_{n-1}(0) = \xi_{n-1}, \ x_n(0) = a_n. \end{cases} \end{equation} \] Обозначим за \( a' \) первые \( n - 1 \) координаты точки \( a \), а \( \xi' \) примем равным \( (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),\) причём \( \xi' \) будем брать из \( U_{a'} \). Тогда система \( \eqref{eq1}\) задаёт в зависимости от начальных условий фазовую траекторию, которую выпустили с \( U_a \cap \{ x \ | \ x_n = a_n \}\). Тут важно отметить, что в силу \( \dot{x}_n(a) \neq 0\), нам достаточно анализировать только траектории, лежащие в малой окрестности точки \( a \), пересекающие \( \{ x \ | \ x_n = a_n \}\), ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда решение не имеет общих точек с рассматриваемой гиперплоскостью, но лежит в окрестности \( a \), считаем несущественным, так как будет понятно в дальнейшем: на выпрямление векторного поля он не влияет. Рис. 1, на котором красным цветом изображена наша точка \( a \), синим\(~- \) пересечения орбит с \( \{ x \ | \ x_n = a_n \}\), зелёным\(~- \) окрестность \( U_a \) в пересечении с исследуемой гиперплоскостью, иллюстрирует наши умозаключения. Приведённые рассуждения позволяют провести взаимнооднозначное соответствие между "существенными" траекториями из окрестности точки \( a \) и координатами их пересечений с \( \{ x \ | \ x_n = a_n \}\) (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать траектории.
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как \( x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')\), а начальные условия \( \eqref{eq1}\) перепишем в виде \( \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n \) (в момент времени 0 находимся в точке \( (\xi', a_n) \)). Теперь покажем, что \( y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t \) является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).\[ \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \] поскольку со временем координата пересечения траектории с \( \{ x \ | \ x_n = a_n \}\) не изменяется. \( \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1,\) по построению.
Корректность замены\( :\)\[ \dfrac{\partial{\psi}_i}{\partial{y}_j}\bigg{|}_{t = 0} = \delta_{ij}, \ \ \ i = \overline{1, n}, j = \overline{1, n-1}, \] так как частные производные берём не по \( n\)-ой координате, то можем её значение \( y_n = t = 0\) подставить сразу (\( \psi_i(0, y') = \xi_i = y_i \)). \( \delta_{ij}\) здесь это символ кронекера. \[ \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_n}\bigg{|}_{t = 0} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}\bigg{|}_{t = 0} = \bigg{\{} \dfrac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t} = \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_k}} \dfrac{\mathrm{d}{y}_k}{\mathrm{d}{t}} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}, по\ доказанному \ выше \bigg{\}} = \dfrac{\mathrm{d}{x}_n}{\mathrm{d}{t}}\bigg{|}_{t = 0} = f_n(\xi', a_n) \neq 0, \] окрестность \( U_a\) подбирается таким образом, чтобы сохранялось \( f_n(\xi', a_n) \neq 0 \). Записывая якобиан для замены переменных в момент времени \( t = 0\), получим\[ \mathcal{J} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 & * \\ 0 & 1 & \dots & 0 & * \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0& \dots & 1 & * \\ 0 & 0 & \dots & 0 & f_n(\xi', a_n) \\ \end{vmatrix} = f_n(\xi', a_n) \neq 0. \] $$\blacksquare$$



\( \)