Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля

Определение и основные свойства.

Матрицей Якоби, системы из \( m \) функций \( \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_m(x_1, x_2, \dots, x_n) \} \) по переменным \( x_1, \dots, x_n \) в точке \( \bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n) \) называется матрица, составленная из всевозможных частных производных этих функций, взятых в рассматриваемой точке\[ J(\bar{x}) = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\ \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\ \end{pmatrix}. \] В частном случае, при \( m = 1 \) матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор называется градиентом функции \( f(x_1, \dots, x_n) \) в точке \( \bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n): \)\[ grad \ f(\bar{x}) = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\ \end{pmatrix}. \] Можно сказать, что в общем случае системы функций их матрица Якоби состоит из строк, являющихся градиентами этих функций.
В другом частном случае, когда \( m = n \), матрица Якоби становится квадратной и тогда ее определитель называется якобианом или определителем Якоби или функциональным определителем системы из \( n \) функций \( \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) \} \) по переменным \( x_1, \dots, x_n: \)\[ \mathcal{J}(x_1, \dots, x_n) = \dfrac{D(f_1, \dots, f_n)}{D(x_1, \dots, x_n)}= \begin{vmatrix} \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(x) \\ \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(x) \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_n}}(x) \\ \end{vmatrix}. \]

Лемма о выпрямлении векторного поля.

Пусть нам задана система\[ \dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n} \] и некоторая нестационарная точка \( a \) (\(f(a) \neq 0 \)), тогда найдётся такая окрестность \( U_a\) и новые координаты \( y_1, \dots, y_n\), определяемые как \( x_i = \psi_i(y_1, \dots, y_n) \), такие, что\[ \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1, \ \ \ i = \overline{1, n-1}.\] \( \textit{Доказательство.} \)
Не умаляя общности, будем считать, что \( f_n(a) \neq 0 \) (пользуемся тем, что \( f(a) \neq 0 \)). Рассмотрим задачу Коши\[ \begin{equation}\label{eq1} \begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, \\ x_1(0) = \xi_1, \ \dots, \ x_{n-1}(0) = \xi_{n-1}, \ x_n(0) = a_n. \end{cases} \end{equation} \] Обозначим за \( a' \) первые \( n - 1 \) координаты точки \( a \), а \( \xi' \) примем равным \( (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),\) причём \( \xi' \) будем брать из \( U_{a'} \). Тогда система \( \eqref{eq1}\) задаёт фазовую траекторию, которую выпустили с гиперплоскости \( x_n(0) = a_n\). Тут важно отметить, что в силу \( \dot{x}_n(a) \neq 0\), все траектории, лежащие в достаточно малой окрестности точки \( a \) будут пересекать \( x_n = a_n\), ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда решение не имеет общих точек с рассматриваемой гиперплоскостью, но лежит в окрестности, считаем невозможным, так как нет искривления векторного поля (точка не особая, а \( U_a \) берётся столь малым, что влияние стационарных решений не чувствуется). Что хорошо иллюстрирует рис. 1, на котором красным цветом изображена наша точка \( a \), синим\(~- \) пересечения орбит с \( x_n = a_n\), зелёным\(~- \) окрестность \( U_a \) в пересечении с исследуемой гиперплоскостью. Эти рассуждения позволяют нам провести взаимнооднозначное соответствие между траекториями из окрестности точки \( a \) и координатами их пересечений с \( x_n = a_n\) (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать траектории.
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как \( x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')\), а начальные условия \( \eqref{eq1}\) перепишем в виде \( \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n \) (в момент времени 0 находимся в точке \( (\xi', a_n) \)). Теперь покажем, что \( y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t \) является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).\[ \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \] поскольку со временем координата пересечения траектории с \( x_n = a_n\) не изменяется. \( \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1,\) по построению.

Лемма о выпрямлении векторного поля.

Пусть нам задана система\[ \dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n} \] и некоторая нестационарная точка \( a \) (\(f(a) \neq 0 \)), тогда найдётся такая окрестность \( U_a\) и новые координаты \( y_1, \dots, y_n\), определяемые как \( x_i = \psi_i(y_1, \dots, y_n) \), такие, что\[ \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1, \ \ \ i = \overline{1, n-1}.\] \( \textit{Доказательство.} \)
Не умаляя общности, будем считать, что \( f_n(a) \neq 0 \) (пользуемся тем, что \( f(a) \neq 0 \)). Рассмотрим задачу Коши\[ \begin{equation}\label{eq1} \begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, \\ x_1(0) = \xi_1, \ \dots, \ x_{n-1}(0) = \xi_{n-1}, \ x_n(0) = a_n. \end{cases} \end{equation} \] Обозначим за \( a' \) первые \( n - 1 \) координаты точки \( a \), а \( \xi' \) примем равным \( (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),\) причём \( \xi' \) будем брать из \( U_{a'} \). Тогда система \( \eqref{eq1}\) задаёт фазовую траекторию, которую выпустили с гиперплоскости \( x_n(0) = a_n\). Тут важно отметить, что в силу \( \dot{x}_n(a) \neq 0\), все траектории, лежащие в достаточно малой окрестности точки \( a \) будут пересекать \( x_n = a_n\), ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда решение не имеет общих точек с рассматриваемой гиперплоскостью, но лежит в окрестности, считаем невозможным, так как нет искривления векторного поля (точка не особая, а \( U_a \) берётся столь малым, что влияние стационарных решений не чувствуется). Что хорошо иллюстрирует рис. 1, на котором красным цветом изображена наша точка \( a \), синим\(~- \) пересечения орбит с \( x_n = a_n\), зелёным\(~- \) окрестность \( U_a \) в пересечении с исследуемой гиперплоскостью. Эти рассуждения позволяют нам провести взаимнооднозначное соответствие между траекториями из окрестности точки \( a \) и координатами их пересечений с \( x_n = a_n\) (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать траектории.
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как \( x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')\), а начальные условия \( \eqref{eq1}\) перепишем в виде \( \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n \) (в момент времени 0 находимся в точке \( (\xi', a_n) \)). Теперь покажем, что \( y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t \) является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).\[ \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \] поскольку со временем координата пересечения траектории с \( x_n = a_n\) не изменяется. \( \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1,\) по построению.