Матричный экспоненциал: различия между версиями

Материал из sawiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
(не показано 13 промежуточных версий этого же участника)
Строка 8: Строка 8:
  
 
==Сходимость ряда $$(\ref{row})$$==
 
==Сходимость ряда $$(\ref{row})$$==
$$\texttt{Утверждение: Ряд (\ref{row}) сходится абсолютно и равномерно для любого конечного интервала $t$.}$$ <br>
+
'''Утверждение''': Ряд $$(\ref{row})$$ сходится абсолютно и равномерно для любого конечного интервала $$t$$. <br>
$$\texttt{Доказательство: $A = (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{n \times n},\: A^k = (a_{ij}^{(k)})$.}$$ <br>
+
'''Доказательство''': <br>
$$\texttt{Рассмотрим: $|a_{ij}^{(2)}| = \|\sum_{l=1}^n a_{il}a_{lj}\| \leq \sum_{l=1}^n |a_{il}||a_{lj}| \leq c^2n,\texttt{ где } |a_{ij}| \leq c \texttt{ по всем } i,j. \\
+
$$A = (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{n \times n},\: A^k = (a_{ij}^{(k)}).$$ <br>
|a_{ij}^{(3)}| = \|\sum_{l=1}^n a_{il}^{(2)}a_{lj}\| \leq c^3n^2. \\
+
Рассмотрим: $$|a_{ij}^{(2)}| = \|\displaystyle\sum_{l=1}^n a_{il}a_{lj}\| \leq \displaystyle\sum_{l=1}^n |a_{il}||a_{lj}| \leq c^2n,\texttt{ где } |a_{ij}| \leq c \texttt{ по всем } i,j. \\
\texttt{По индукции: } |a_{ij}^{(k)}| = \leq c^kn^{k-1}.
+
|a_{ij}^{(3)}| = \|\displaystyle\sum_{l=1}^n a_{il}^{(2)}a_{lj}\| \leq c^3n^2. \\
$}$$
+
\texttt{По индукции: } |a_{ij}^{(k)}| \leq c^kn^{k-1}. \\
 +
\texttt{Все элементы матрицы } \frac{A^kt^k}{k!} \texttt{ мажорируются } \frac{c^kn^{k-1}t^k}{k!} = \frac1n\frac{(cnt)^k}{k!},\\ \texttt{а ряд } \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(cnt)^k}{nk!} \texttt{ сходится.} \Rightarrow$$ <br>
 +
$$\Rightarrow$$ По [https://ru.wikipedia.org/wiki/Признак_Вейерштрасса признаку Вейерштрасса] утверждение доказано.
 +
 
 +
==Связь с фундаментальной матрицей==
 +
Так как $$\frac{d}{dt} e^{At} = Ae^{At} = e^{At}A,$$ то для $$e^{A(t-\tau)}$$ выполнено определение [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Фундаментальная_матрица_Коши фундаментальной матрицы] $$\Rightarrow$$
 +
\[
 +
X(t,\tau) = e^{A(t-\tau).}
 +
\]
 +
==Примеры нахождения==
 +
$$A = \begin{pmatrix}
 +
0 & 1 \\
 +
0 & 0
 +
\end{pmatrix},\: A^2 = O \quad \Rightarrow \quad e^{At} = I + At =
 +
\begin{pmatrix}
 +
1 & t \\
 +
0 & 1
 +
\end{pmatrix}.
 +
$$
 +
<br>
 +
Другие примеры можно найти в статьях про [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Приложения_преобразования_Лапласа приложения преобразования Лапласа] и [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Фундаментальная_матрица_Коши фундаментальную матрицу Коши.]

Текущая версия на 12:46, 24 декабря 2020

Пусть $$A = (a_{ij})$$ - квадратная матрица порядка $$n$$.
Под матричной экспонентой понимается матричная функция: \[ \begin{equation} \label{row} e^{At} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^kt^k}{k!}. \end{equation} \]

Сходимость ряда $$(\ref{row})$$

Утверждение: Ряд $$(\ref{row})$$ сходится абсолютно и равномерно для любого конечного интервала $$t$$.
Доказательство:
$$A = (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{n \times n},\: A^k = (a_{ij}^{(k)}).$$
Рассмотрим: $$|a_{ij}^{(2)}| = \|\displaystyle\sum_{l=1}^n a_{il}a_{lj}\| \leq \displaystyle\sum_{l=1}^n |a_{il}||a_{lj}| \leq c^2n,\texttt{ где } |a_{ij}| \leq c \texttt{ по всем } i,j. \\ |a_{ij}^{(3)}| = \|\displaystyle\sum_{l=1}^n a_{il}^{(2)}a_{lj}\| \leq c^3n^2. \\ \texttt{По индукции: } |a_{ij}^{(k)}| \leq c^kn^{k-1}. \\ \texttt{Все элементы матрицы } \frac{A^kt^k}{k!} \texttt{ мажорируются } \frac{c^kn^{k-1}t^k}{k!} = \frac1n\frac{(cnt)^k}{k!},\\ \texttt{а ряд } \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(cnt)^k}{nk!} \texttt{ сходится.} \Rightarrow$$
$$\Rightarrow$$ По признаку Вейерштрасса утверждение доказано.

Связь с фундаментальной матрицей

Так как $$\frac{d}{dt} e^{At} = Ae^{At} = e^{At}A,$$ то для $$e^{A(t-\tau)}$$ выполнено определение фундаментальной матрицы $$\Rightarrow$$ \[ X(t,\tau) = e^{A(t-\tau).} \]

Примеры нахождения

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\: A^2 = O \quad \Rightarrow \quad e^{At} = I + At = \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. $$
Другие примеры можно найти в статьях про приложения преобразования Лапласа и фундаментальную матрицу Коши.