Матричный экспоненциал: различия между версиями

Материал из sawiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 17: Строка 17:
 
$
 
$
 
}$$
 
}$$
 +
==Связь с фундаментальной матрицей==
 +
$$\frac{d}{dt} e^{At} = Ae^{At} = e^{At}A.$$ Для $$e^{A(t-\tau)}$$ выполнено определение [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Фундаментальная_матрица_Коши фундаментальной матрицы] $$\Rightarrow$$
 +
\[
 +
X(t,\tau) = e^{A(t-\tau).}
 +
\]

Версия 14:43, 20 декабря 2020

Пусть $$A = (a_{ij})$$ - квадратная матрица порядка $$n$$.
Под матричной экспонентой понимается матричная функция: \[ \begin{equation} \label{row} e^{At} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^kt^k}{k!}. \end{equation} \]

Сходимость ряда $$(\ref{row})$$

$$\texttt{Утверждение: Ряд (\ref{row}) сходится абсолютно и равномерно для любого конечного интервала $t$.}$$
$$\texttt{Доказательство:}$$
$$ \texttt{$A = (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{n \times n},\: A^k = (a_{ij}^{(k)})$.}$$
$$\texttt{Рассмотрим: $|a_{ij}^{(2)}| = \|\displaystyle\sum_{l=1}^n a_{il}a_{lj}\| \leq \displaystyle\sum_{l=1}^n |a_{il}||a_{lj}| \leq c^2n,\texttt{ где } |a_{ij}| \leq c \texttt{ по всем } i,j. \\ |a_{ij}^{(3)}| = \|\displaystyle\sum_{l=1}^n a_{il}^{(2)}a_{lj}\| \leq c^3n^2. \\ \texttt{По индукции: } |a_{ij}^{(k)}| = \leq c^kn^{k-1}. \\ \texttt{Все элементы матрицы } \frac{A^kt^k}{k!} \texttt{ мажорируются } \frac{c^kn^{n-1}t^k}{k!} = \frac1n\frac{(cnt)^k}{k!},\\ \texttt{а ряд } \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(cnt)^k}{nk!} \texttt{ сходится.} \Rightarrow \texttt{По признаку Вейерштрасса утрверждение доказано.} $ }$$

Связь с фундаментальной матрицей

$$\frac{d}{dt} e^{At} = Ae^{At} = e^{At}A.$$ Для $$e^{A(t-\tau)}$$ выполнено определение фундаментальной матрицы $$\Rightarrow$$ \[ X(t,\tau) = e^{A(t-\tau).} \]