Матричный экспоненциал
Пусть $$A = (a_{ij})$$ - квадратная матрица порядка $$n$$.
Под матричной экспонентой понимается матричная функция:
\[
\begin{equation}
\label{row}
e^{At} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^kt^k}{k!}.
\end{equation}
\]
Сходимость ряда $$(\ref{row})$$
$$\texttt{Утверждение: Ряд (\ref{row}) сходится абсолютно и равномерно для любого конечного интервала $t$.}$$
$$\texttt{Доказательство:
$A = (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{n \times n},\: A^k = (a_{ij}^{(k)})$.}$$
$$\texttt{Рассмотрим: $|a_{ij}^{(2)}| = \|\sum_{l=1}^n a_{il}a_{lj}\| \leq \sum_{l=1}^n |a_{il}||a_{lj}| \leq c^2n,\texttt{ где } |a_{ij}| \leq c \texttt{ по всем } i,j. \\
|a_{ij}^{(3)}| = \|\sum_{l=1}^n a_{il}^{(2)}a_{lj}\| \leq c^3n^2. \\
\texttt{По индукции: } |a_{ij}^{(k)}| = \leq c^kn^{k-1}. \\
\texttt{Все элементы матрицы } \frac{A^kt^k}{k!} \texttt{ мажорируются } \frac{c^kn^{n-1}t^k}{k!} = \frac1n\frac{(cnt)^k}{k!},\\ \texttt{а ряд } \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(cnt)^k}{nk!} \texttt{ сходится.} \Rightarrow \texttt{По признаку Вейерштрассе утрверждение доказано.}
$
}$$
