Мера Лебега

Внешняя мера

Для произвольного подмножества \(E\) числовой прямой можно найти сколь угодно много различных систем из конечного или счётного числа интервалов, объединение которых содержит множество \(E\). Назовём такие системы покрытиями. Так как сумма длин интервалов, составляющих любое покрытие, есть величина неотрицательная, она ограничена снизу, и, значит, множество длин всех покрытий имеет точную нижнюю грань. Эта грань, зависящая только от множества \(E\), и называется внешней мерой: \[m^*E = \inf\left\{\sum_i \Delta_i\right\}.\] Варианты обозначения внешней меры: \[m^*E = \varphi(E) = |E|^*.\] Внешняя мера любого интервала совпадает с его длиной, что является следствием счётной аддитивности меры Лебега на полукольце интервалов, отрезков и полуинтервалов. Если точнее, то указанная счётная аддитивность даёт \(m(a, b) \leqslant m^*(a, b)\), тогда как противоположное неравенство действительно очевидно и напрямую вытекает из определения внешней меры.

Свойства внешней меры

• (Монотонность): \(E_1 \subseteq E_2 \Rightarrow m^*E_1 \leqslant m^*E_2.\)
• (Счётная полуаддитивность): \(E = \bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k \Rightarrow m^*E \leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty m^*E_k.\)
• \(\forall E,\ \varepsilon > 0\ \exists G \supseteq E \colon m^*G \leqslant m^*E + \varepsilon\), где \(G\) — открытое множество. Действительно, достаточно в качестве \(G\) взять сумму интервалов, составляющих покрытие \(E\), такую что \(\textstyle\sum\limits_i \Delta_i \leqslant m^*E + \varepsilon\). Существование такого покрытия следует из определения точной нижней грани.

Внутренняя мера

Если множество \(E\) ограничено, то внутренней мерой множества \(E\) называется разность между длиной сегмента \([a,\;b]\) содержащего \(E\) и внешней мерой дополнения \(E\) в \([a,\;b]\): \[m_*E=(b-a)-m^*([a,\;b]\setminus E).\] Для неограниченных множеств, \(m_*E\) определяется как точная верхняя грань \((b-a)-m^*([a,\;b]\setminus E)\) по всем отрезкам \([a,\;b]\).

Измеримые множества

Множество называется измеримым по Лебегу, если его внешняя и внутренняя меры равны. Тогда общее значение последних называется мерой множества по Лебегу и обозначается \(mE\), \(\mu E\), \(|E|\), \(\lambda(E)\) или \(\operatorname{mes} E\).

Пример неизмеримого множества

Пример неизмеримого по Лебегу множества построил Дж. Витали в 1905 году. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности \(\sim\) на отрезке \([0, 1]\)\[x \sim y\] если разность \(x - y\) рациональна. Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по одному представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора). Тогда полученное множество \(E\) представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть \(E\) счётное число раз на все рациональные числа в интервале \([-1, 1]\), то объединение будет содержать весь отрезок \([0, 1]\), но при этом оно будет содержаться в отрезке \([-1, 2]\). При этом «сдвинутые копии» множества \(E\) не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения \(\sim\) и \(E\).

Следовательно, с учётом счётной аддитивности меры Лебега,

\[1 = \mu\big([0; 1]\big) \leqslant \mu\bigg(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\bigg) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n) \leqslant \mu\big([-1; 2]\big) = 3.\]

Однако, если построенное множество \(E\) измеримо, это невозможно: все \(\mu(E_n) = \mu(E)\) в силу свойства инвариантности меры Лебега (мера множества не меняется при сдвиге), а значит, сумма ряда \[\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)\] либо бесконечна (если \(\mu(E) > 0\)), либо равна нулю (если \(\mu(E) = 0\)); третьего не дано.

В обоих случаях получаем противоречие, и значит множество \(E\) неизмеримо; то есть функция меры на \(E\) не распространяется.

Заметим, что построение этого примера неизмеримого множества на отрезке было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).

Свойства меры Лебега

1) Неотрицательность: Мера Лебега любого измеримого множества неотрицательна\[ \forall E: \exists \mu(E) \Rightarrow ~ \mu(E) \geqslant 0. \] Данное свойство следует из неотрицательности внешней меры.

2) Нулевая мера: Если множество A имеет нулевую меру (т.е. \(\mu(A) = 0.\)), то оно называется множеством нулевой меры.

3) Счетная полуаддитивность: Для любого конечного или счетного набора множеств \(A_1, A_2, A_3, \ldots \) мера Лебега их объединения не превосходит суммы мер каждого множества по отдельности. Формально\[ \mu(\cup A_i) \leq \sum\limits_i \mu(A_i).\]

Данное свойство следует из аналогичного свойства внешней меры.

4) Счетная аддитивность: Если множества \(A_1, A_2, A_3, \ldots \) попарно не пересекаются, то мера Лебега их объединения равна сумме мер каждого множества по отдельности. Формально\[\forall i \neq j: ~ A_i\cap A_j = \varnothing \Rightarrow \mu(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(A_i). \]

Список литературы

1. Точилин П. А. Семинарские занятия по функциональному анализу, 2021г.

2. Моисеев Е. И. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.