Метрика Хаусдорфа

Метрика Хаусдорфа есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств пространства. Она превращает это множество в метрическое пространство.

Расстояние по Хаусдорфу

Пусть $$(X, \rho) ~- $$ метрическое пространство. Введем понятие расстояния по Хаусдорфу между двумя непустыми ограниченными множествами. Итак, пусть $$M, N \in X ~-$$ непустые ограниченные множества. Для них положим \begin{gather*} h(M, N) = \inf\left\{ r > 0: O(M, r) \supseteq N, O(N, r) \supseteq M \right\}, \end{gather*}

где $$O(\cdot, r) ~-$$ открытая $$r$$-окрестность множества.

Число $$h(M, N)$$ называется расстоянием по Хаусдорфу между множествами $$M$$ и $$N$$. Кроме того, приведенная выше формула определяет расстояние по Хаусдорфу и для неограниченных множествами $$M$$ и $$N$$, однако при этом $$h(M, N)$$ уже может принимать $$+\infty$$.

Предложение

Для любых $$a_1, a_2 \in X$$ и $$r_1, r_2 > 0$$ справедливо неравенство \begin{gather}\label{eq1} h(B(a_1, r_1), B(a_2, r_2)) \leqslant \rho(a_1, a_2) + \max\left\{r_1, r_2\right\}, \end{gather} где $$B(a, r) ~-$$ замкнутый шар метрического пространства в точке $$a$$ с радиусом $$r$$.

Доказательство

Пусть $$x_1 \in B(a_1, r_1)$$. Тогда имеет место неравенство $$\rho(x_1, a_2) \leqslant r_1 + \rho(a_1, a_2) $$, которое вытекает из следующей цепочки неравенств: \begin{gather*} \rho(x_1, a_2) \leqslant \rho(x_1, a_1) + \rho(a_1, a_2) \leqslant r_1 + \rho(a_1, a_2). \end{gather*} Таким же образом получаем, что $$\rho(x_2, a_1) \leqslant r_2 + \rho(a_1, a_2)$$ для всех $$x_2 \in B(a_2, r_2)$$. Далее из получившихся неравенства и определения расстояния по Хаусдорфу вытекает формула (\ref{eq1}).

Замечание

Если дополнительно предположить, что $$X ~-$$ линейное нормированное пространство, то \begin{gather*} h(B(a_1, r_1), B(a_2, r_2)) = \|a_2 - a_1\| + \left|r_2 - r_1 \right|. \end{gather*}

Иллюстрация примера 2

Пример 1

Данный пример показывает, что доказанное выше неравенство (\ref{eq1}) может превратиться в равенство. Рассмотрим метрическое пространство $$(X, \rho)$$, в котором $$X = \left\{ -2, -1, 1, 2\right\} ~- $$ множество состоящее из точек на прямой с естественной метрикой расстояния между точками. Тогда при $$a_1 = -1, a_2 = 1, r_1 = r_2 = 1$$ имеет место \begin{gather*} h(B(a_1, r_1), B(a_2, r_2)) = 3 = \rho(a_1, a_2) + \max(r_1, r_2). \end{gather*}

Пример 2

Пусть теперь возьмем на рассмотрение метрическое пространство $$(X, \rho)$$, в котором $$X = \mathbb{R}^2$$ с естественной метрикой расстояния между точками в пространстве $$\mathbb{R}^2$$. Найдем Хаусдорфово расстояние между $$B(2,1)$$ и $$B(-2,1)$$: \begin{gather*} h(B(-2, 1), B(2, 1)) = 4. \end{gather*}

Переход к метрике

Несложно видеть, что для замкнутых ограниченных множеств расстояние по Хаусдорфу $$h$$ удовлетворяет всем аксиомам метрики. А именно, для любых негустых замкнутых ограниченных множеств $$M, N$$ и $$E$$ имеют место соотношения \begin{gather*} h(M, N) = 0 \Leftrightarrow M = N, \end{gather*} \begin{gather*} h(M, N) = h(N, M) \geqslant 0, \end{gather*} \begin{gather*} h(M, N) \leqslant h(M, E) + h(E, N). \end{gather*} Таким образом, функция $$h$$ превращает множество всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств пространства $$X$$ в метрическое пространство, которое обозначается через $$H(X)$$. Метрику $$h$$ называют метрикой Хаусдорфа. Однако в общем случае расстояние Хаусдорфа метрикой не является, так как может равняться нулю между различными множествами. Например, это имеет место для отрезка $$M = \left[a, b\right]$$ и полуинтервала $$N = \left[a, b \right)$$, которые рассматриваются как подмножества числовой прямой. Действительно, для любого $$\varepsilon > 0$$ выполняется, что $$M \subset O(N, \varepsilon)$$ и $$N \subset O(M, \varepsilon)$$, поэтому $$h(M, N) = 0$$.

Наряду с метрическим пространством обычно рассматривается его подпространство $$H_{c}(X)$$, которое состоит из непустых компактных подмножеств $$X$$. Стоит отметить, что если множество $$X$$ ограничено, то функция $$h$$ ограничена на множестве всех подмножеств множества $$X$$.

Свойства

Пусть $$(X, \rho) ~- $$ метрическое пространство, а $$M, N ~-$$ непустые подмножества пространства $$X$$.

1. Для любых $$x \in M$$ и $$\varepsilon > 0$$ существует $$y \in N$$ такое, что $$\rho(x, y) \leqslant h(M, N) + \varepsilon$$.

2. $$h(M, N) = 0$$ тогда и только тогда, когда $$\overline{M} = \overline{N}$$.

3. Если пространство $$X$$ ограничено, то метрическое пространство $$H(X)$$ сепарабельно.

4. Если пространство $$X$$ полно, то метрические пространства $$H(X)$$ и $$H_{c}(X)$$ тоже полны.

Альтернативные способы задания расстояния

Наряду с расстоянием Хаусдорфа часто используют и другое расстояние между множествами, которое обозначается через $$dist$$ и определяется следующим соотношением: \begin{gather*} dist(M, N) = \inf\left\{\rho(x, y), x \in M, y \in N\right\}. \end{gather*} Для данного расстояния, очевидно, имеет место \begin{gather*} dist(M, N) \leqslant h(M, N), \end{gather*} \begin{gather*} dist(M, N) = dist(N, M) \geqslant 0. \end{gather*} Также можно рассмотреть еще одну величину, которая характеризует взаимное расположение множеств $$M$$ и $$N$$, лежащих в $$X$$. Это $$~-$$ отклонение множества $$M$$ от множества $$N$$, которое определяется соотношением \begin{gather*} h^{+}(M, N) = \inf\left\{ \varepsilon > 0: O(N, \varepsilon) \subseteq M\right\}. \end{gather*} Отклонение $$h^{+}$$ можно выразить через $$dist$$: \begin{gather*} h^{+}(M, N) = \sup\left\{ dist(x, N), x \in M\right\}, \end{gather*} а расстояние по Хаусдорфу в свою очередь выражается через отклонение по формуле \begin{gather*} h(M, N) = \max\left\{ h^{+}(M, N), h^{+}(N, M)\right\}. \end{gather*} Поэтому для любых множест $$M, N$$ справедливо \begin{gather*} dist(M, N) \leqslant h^{+}(M, N) \leqslant h(M, N). \end{gather*}

Список литературы

1. Арутюнов А. В. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014.