Метрика Хаусдорфа
Метрика Хаусдорфа есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых замкнутых подмножеств метрического пространства. Таким образом, метрика Хаусдорфа превращает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства в метрическое пространство.
Расстояние по Хаусдорфу
Пусть $$(X, \rho) ~- $$ метрическое пространство. Введем понятие расстояния по Хаусдорфу между двумя непустыми ограниченными множествами. Итак, пусть $$M, N \in X ~-$$ непустые ограниченные множества. Для них положим \begin{gather*} h(M, N) = \inf\left\{ r > 0: O(M, r) \supseteq N, O(N, r) \supseteq M \right\}. \end{gather*}
Стоит отметить, что из ограниченности множеств M, N вытекает существование соответствующих $$r > 0 $$. Число $$h(M, N) $$ называется расстоянием по Хаусдорфу между ограниченными множествами M и N.
Предложение
Для любых $$a_1, a_2 \in X$$ и $$r_1, r_2 > 0$$ справедливо неравенство \begin{gather*} h(B(a_1, r_1), B(a_2, r_2)) \leq \rho(a_1, a_2) + \max\left\{r_1, r_2\right\} \end{gather*}
Доказательство
Пусть x_1 \in B(a_1, r_1). Тогда имеет место неравенство $$\rho(x_1, a_2) \leq r_1 + \rho(a_1, a_2) $$, которое вытекает из следующей цепочки неравенств: \begin{gather}\label{eq1} \rho(x_1, a_2) \leq \rho(x_1, a_1) + \rho(a_1, a_2) \leq r_1 + \rho(a_1, a_2). \end{gather} Таким же образом получаем, что $$\rho(x_2, a_1) \leq r_2 + \rho(a_1, a_2)$$. Далее из получившихся неравенства и определения расстоянии по Хаусдорфу вытекает формула (\ref{eq1}).
Замечание
Если дополнительно предположить, что $$X ~-$$ линейное нормированное пространство, то \begin{gather*} h(B(a_1, r_1), B(a_2, r_2)) \leq \|a_2 - a_1\| + \left|r_2 - r_1 \right|. \end{gather*}
Пример 1
Данный пример показывает, что доказанное выше неравенство может превратиться в равенство. Рассмотрим метрическое пространство $$(X, \rho)$$, в котором $$X = \left\{ -2, -1 1, 2\right\} ~- $$ множество состоящее из точек на прямой с естественной метрикой расстояния между точками. Тогда при $$a_1 = -1, a_2 = 1, r_1 = r_2 = 1$$ имеет место \begin{gather*} h(B(-1, 1), B(1, 1)) = \rho(-1, 1) + max(1, 1) = 3. \end{gather*}
Пример 2
Пусть теперь возьмем на рассмотрение метрическое пространство $$(X, \rho)$$, в котором $$X = \mathbb{R}^2$$ с естественной метрикой расстояния между точками в пространстве $$\mathbb{R}^2$$. Найдем Хаусдорфово расстояние между $$B(2,1)$$ и $$B(-2,1)$$: \begin{gather*} h(B(-2, 1), B(2, 1)) = 4. \end{gather*}
Переход к метрике
Несложно видеть, что для замкнутых ограниченных множеств расстояние по Хаусдорфу $$h$$ удовлетворяет всем аксиомам метрики. А именно, для любых негустых замкнутых ограниченных множеств $$M, N$$ и $$E$$ имеют место соотношения \begin{gather*} h(M, N) = 0 \Leftrightarrow M = N, \end{gather*} \begin{gather*} h(M, N) = h(M, N) \geq 0, \end{gather*} \begin{gather*} h(M, N) \leq h(M, E) + h(E, N). \end{gather*} Таким образом, функция $$h$$ превращает множество всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств пространства $$X$$ в метрическое пространство, которое обозначается через $$H(X)$$. Метрику $$h$$ называют метрикой Хаусдорфа. Однако в общем случае расстояние Хаусдорфа метрикой не является.
Наряду с метрическим пространством обычно рассматривается его подпространство $$H_{c}(X)$$, которое состоит из непустых компактных подмножеств $$X$$. Стоит отметить, что если множество $$X$$ ограничено, то функция $$h$$ ограничена на множестве всех подмножеств множества $$X$$.
Список литературы
1. Арутюнов А. В. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014.
