Метрическое пространство
Определение
Метрическим пространством M называется множество элементов $$x, y,\dots,$$ в котором любой паре элементов $$x, y$$ поставлено в соответствие некоторое число $$d(x,y)$$, называемое метрикой или расстоянием, удовлетворяющее следующим аксиомам:
- $$d(x,y) \geqslant 0$$, причем $$d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y~~\forall x,y \in M$$.
- $$d(x,y) = d(y,x)~~\forall x,y \in M$$.
- $$d(x,y) \leqslant d(x,z) + d(z,y)~~\forall x,y,z \in M$$.
Вспомогательные определения и утверждения
Примеры метрик:
- $$R,~~d(x,y) = |x-y|$$.
- $$R^n,~~d(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2+\dots+(x_n-y_n)^2}$$.
- $$C[a,b],~~d(f,g) = \max \limits_{x \in [a,b]}|f(x) - g(x)|$$.
Лемма 1. Если $$d$$ - метрика, то $$\dfrac{d}{1+d}$$ - тоже метрика.
Доказательство:
Достаточно доказать неравенство треугольника. Пусть $$d = d(x,y), d_1 = d(x,z), d_2 = d(z,y)$$, тогда неравенство \[ \dfrac{d}{1+d} \leqslant \dfrac{d_1}{1+d_1} + \dfrac{d_2}{1+d_2} \] следует из $$d \leqslant d_1 + d_2$$. $$\blacksquare$$
Последовательность $$\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$$, где все $$x_{n} \in M$$, называется сходящейся к $$x \in M$$, если $$\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_{n}, x\right)=0$$.
Открытым шаром с центром в точка $$x \in M$$ радиуса $$R>0$$ называется множество $$B(x,R) = \{y \in M| d(x,y) < R\}$$.
Множество $$G \subset M$$ называется открытым, если $$\forall x \in G \quad \exists B(x, R) \subset G$$.
Точка $$x \in M$$ называется предельной для множества $$F$$, если $$\{B(x, R) \backslash x\} \cap F \neq \varnothing~~\forall R>0$$.
Множество предельных точек множества $$F$$ обозначим через $$F^{\prime}$$.
Замыканием множества $$E$$ называется множество $$\bar{F}=F \cup F^{\prime}$$.
Множество $$F$$ называется замкнутым, если $$\bar{F}=F$$.
Теорема 1. Если $$G$$ - открытое, то $$M \backslash G$$ - замкнутое; если $$F$$ - замкнутое, то $$M \backslash F-$$ открытое.
Доказательство:
Первое - от противного: пусть $$x \in(M \backslash G)^{\prime}$$, но $$x \notin M \backslash G$$, тогда $$x \in G$$. Следовательно, $$\exists B(x, R) \subset G$$. Но тогда $$B(x, R) \cap(M \backslash G)=\varnothing$$, что означает, что точка $$x$$ не является предельной для множества $$M \backslash G$$ - противоречие.
Второе - от противного: пусть $$x \in M \backslash F$$, но нет ни одного шара с центром в точке $$x$$, содержащегося в $$M \backslash F$$, тогда $$\forall R>0\{B(x, R) \backslash x\} \cap F \neq \varnothing$$. Таким образом, точка $$x$$ является предельной для множества $$F$$, но не принадлежит ему - противоречие. $$\blacksquare$$
Теорема Банаха–Штейнгауза
Теорема 2. Пусть $$(X, d)$$ - это полное метрическое пространство и $$\left\{B_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty}$$ - семейство замкнутых шаров, причём при всех $$n \in \mathbb{N}$$ $$B_{n+1} \subset \bar{B}_{n}$$ и радиусы шаров $$r_{n}$$ стремятся к $$0$$, тогда
\[ \bigcap_{n \in \mathbb{N}} B_{n}=\{a\} \]
где а - некоторая точка из $$X$$.
Доказательство:
Действительно, возьмём последовательность $$\left\{a_{n}\right\}$$ такую, что $$a_{n} \in B_{n}$$. Поскольку шары вложены и их радиусы стремятся к нулю, то эта последовательность $$\left\{a_{n}\right\}$$ фундаментальна.
Это следует из того, что для любого $$\varepsilon>0$$ найдётся такое натуральное $$N \in \mathbb{N}$$, что при $$n, m>N$$
\[ a_{n}, a_{m} \in B_{\min \{n, m\}}, \]
а радиус шара $$B_{\min \{n, m\}}$$ стремится к нулю при $$N \rightarrow+\infty$$.
Следовательно, в силу полноты $$(X, d)$$, последовательность $$\left\{a_{n}\right\}$$ сходится к точке $$a$$, которая, в силу замкнутости шаров $$B_{n}$$, принадлежит их пересечению.
Докажем, что пересечение этих шаров состоит в точности из одной точки. Для этого заметим, что расстояние между двумя точками $$x, y$$, лежащими в одном замкнутом шаре радиуса $$r$$, не превосходит $$2 r$$.
Действительно, если $$o-$$ центр шара, имеем
\[ d(x, y) \leqslant d(x, o)+d(o, y) \leqslant 2 r. \]
Следовательно, если пересечение всех шаров содержит точки $$a, b$$, то
\[ d(a, b) \leqslant 2 r_{n} \rightarrow 0, \]
откуда $$d(a, b)=0$$ и $$a=b$$.$$\blacksquare$$
