Многозначные отображения и их свойства: различия между версиями

Материал из sawiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «Пусть $$(X, \rho_X)$$ и $$(Y, \rho_Y)$$ $$-$$ метрические пространства. == Опр...»)
 
Строка 1: Строка 1:
Пусть $$(X, \rho_X)$$ и $$(Y, \rho_Y)$$ $$-$$ [[Метрическое пространство|метрические пространства]].
+
Пусть $$(X, \rho_X)$$ и $$(Y, \rho_Y)$$ $$-$$ [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE метрические пространства].
 
== Определение ==
 
== Определение ==
 
Отображение  $$F$$, которое каждому $$x \in X$$ ставит в соответствие непустое замкнутое подмножество $$F(x) \subset Y$$, называется '''многозначным отображением'''.
 
Отображение  $$F$$, которое каждому $$x \in X$$ ставит в соответствие непустое замкнутое подмножество $$F(x) \subset Y$$, называется '''многозначным отображением'''.

Версия 15:03, 23 октября 2022

Пусть $$(X, \rho_X)$$ и $$(Y, \rho_Y)$$ $$-$$ метрические пространства.

Определение

Отображение $$F$$, которое каждому $$x \in X$$ ставит в соответствие непустое замкнутое подмножество $$F(x) \subset Y$$, называется многозначным отображением.

Свойства

  • Многозначное отображение $$F$$ называется секвенциально полунепрерывным сверху в точке $$x_0$$ $$\in X$$, если для любой последовательности $$\{x_n\}$$, сходящейся к точке $$x_0$$, и любой последовательности $$\{y_n\}$$, для которой $$y_n \in F(x_n) \; \forall n$$, имеет место

\[\text{dist}(y_n, F(x_0)) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty, \]

где $$\text{dist}(y_n, F(x_0)) = \inf\{\rho(y, x), y \in y_n, x \in F(x_n)\}$$.

Если многозначное отображение секвенциально полунепрерывно сверху в каждой точке, то оно называется секвенциально полунепрерывным сверху.

  • Многозначное отображение $$F$$ называется секвенциально полунепрерывным снизу в точке $$x_0$$ $$\in X$$, если для любой последовательности $$\{x_n\}$$, сходящейся к точке $$x_0$$, и любого $$y_0 \in F(x_0)$$ существует последовательность $$\{y_n\}$$ такая, что $$y_n \in F(x_n) \; \forall n \; \text{и} \; y_n \rightarrow y_0, n \rightarrow \infty$$.

Если многозначное отображение секвенциально полунепрерывно снизу в каждой точке, то оно называется секвенциально полунепрерывным снизу, что равносильно тому, что \[ \text{dist}(y_0, F(x)) \rightarrow 0, x \rightarrow x_0, \; \forall y_0 \in F(x_0). \]

  • Многозначное отображение $$F$$ называется $$h$$-полунепрерывным сверху в точке $$x_0$$ $$\in X$$, если для произвольного $$\epsilon > 0$$ существует такое $$\delta > 0$$, что

\[ F(x) \subset O^Y(F(x_0), \epsilon) \; \forall x \in O^X(x_0, \delta). \] Если многозначное отображение $$h$$-полунепрерывно сверху в каждой точке, то оно называется $$h$$-полунепрерывным сверху.

  • Многозначное отображение $$F$$ называется $$h$$-полунепрерывным снизу в точке $$x_0$$ $$\in X$$, если для произвольного $$\epsilon > 0$$ существует такое $$\delta > 0$$, что

\[ O^Y(F(x), \epsilon) \supset F(x_0) \; \forall x \in O^X(x_0, \delta). \] Если многозначное отображение $$h$$-полунепрерывно снизу в каждой точке, то оно называется $$h$$-полунепрерывным снизу.

  • Многозначное отображение $$F$$ называется непрерывным, если оно одновременно $$h$$-полунепрерывно и сверху, и снизу.

Через $$X \times Y$$ обозначим декартово произведение метрических пространств $$(X, \rho_X) \; \text{и} \; (Y, \rho_Y)$$, состоящее из множества упорядоченных пар $$(x, y), \; x\in X, \; y \in Y$$, с метрикой, определяемой соотношением \[ \rho((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \rho_X(x_1, x_2) + \rho_Y(y_1, y_2). \] Для сходимости в метрическом пространстве $$X \times Y$$ справедливо следующее: \[ (x_n, y_n) \rightarrow (x_0, y_0) \Leftrightarrow x_n \rightarrow x_0, \; y_n \rightarrow y_0, \; n \rightarrow \infty. \]

  • Графиком многозначного отображения $$F$$ называется множество

\[ \text{gph}F = \{(x, y) \in X \times Y: \; y \in F(x)\}. \] Многозначное отображение называется замкнутым, если его график замкнут.