Модель Рамсея и задачи оптимального управления для неё: различия между версиями
Ivan22 (обсуждение | вклад) |
Ivan22 (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 2: | Строка 2: | ||
Модель Рамсея (модель Рамсея-Касса-Куманса)(модель репрезентативного агента) — неоклассическая модель оптимального экономического роста, являющаяся обобщением экономической модели Солоу. | Модель Рамсея (модель Рамсея-Касса-Куманса)(модель репрезентативного агента) — неоклассическая модель оптимального экономического роста, являющаяся обобщением экономической модели Солоу. | ||
В модели Солоу норма сбережений предполагалась заданной экзогенно. В реальности она зависит от поведения жителей страны (макрорегиона), а, значит, от их собственных предпочтений. Поэтому в модели Рамсея норма сбережений определяется эндогенно. | В модели Солоу норма сбережений предполагалась заданной экзогенно. В реальности она зависит от поведения жителей страны (макрорегиона), а, значит, от их собственных предпочтений. Поэтому в модели Рамсея норма сбережений определяется эндогенно. | ||
| − | == | + | == Описание модели == |
=== Экономические обозначения === | === Экономические обозначения === | ||
Для описания модели введём следующие обозначения, применяемые в теории экономической математики. | Для описания модели введём следующие обозначения, применяемые в теории экономической математики. | ||
| Строка 10: | Строка 10: | ||
* $$ C( \cdot )~= C(t)$$ — потребительские расходы на душу населения в момент времени $$t$$, | * $$ C( \cdot )~= C(t)$$ — потребительские расходы на душу населения в момент времени $$t$$, | ||
* $$ K( \cdot )~= K(t)$$ — объём капитала в момент времени $$t$$, | * $$ K( \cdot )~= K(t)$$ — объём капитала в момент времени $$t$$, | ||
| + | * $$ K( \cdot )~= K(t) $$ — объём выпуска в момент времени $$t$$, | ||
* $$ I( \cdot )~= I((t)$$ — объём инвестиций в момент времени $$t$$, | * $$ I( \cdot )~= I((t)$$ — объём инвестиций в момент времени $$t$$, | ||
* $$r( \cdot ) ~= r(t) $$ — реальная доходность сбережений, | * $$r( \cdot ) ~= r(t) $$ — реальная доходность сбережений, | ||
* $$ \sigma $$ — эластичность межвременного замещения (elasticity of intertemporal substitution) | * $$ \sigma $$ — эластичность межвременного замещения (elasticity of intertemporal substitution) | ||
=== Производство в экономике с репрезентативными домохозяйствами === | === Производство в экономике с репрезентативными домохозяйствами === | ||
| − | '' Репрезентативное домохозяйство '' — домохозяйство, предпочтения которого при рациональном поведении (в задаче потребителя), приводят к таким решениям об уровне потребления и сбережения, что они эквивалентны совокупному потреблению (спросу) и сбережениям всех домохозяйств в экономике. | + | '' Репрезентативное домохозяйство '' — домохозяйство, предпочтения которого при рациональном поведении (в задаче потребителя), приводят к таким решениям об уровне потребления и сбережения, что они эквивалентны совокупному потреблению (спросу) и сбережениям всех домохозяйств в экономике. |
| + | Также предполагаем, что численность населения растёт с некоторым постоянным коэффициентом (темпом) $$\rho$$ и $$L(0)~=1$$, итого $$ L(t)~= e^{\rho t} $$ | ||
| + | === Дискретная задача центрального планирования === | ||
| + | |||
| + | === Постановка задачи === | ||
| + | ==== Задача центрального планирования(задача социального планировщика) в закрытой экономике: ==== | ||
| + | Пусть $$ u( \cdot ) $$ — функция мгновенной полезности. Аргументом функции будет являться потребительский расход $$c(t)$$ в момент времени $$ t $$. | ||
| + | |||
| + | Также, ввиду, того что мы рассматриваем модель репрезентативного агента, то параметр дисконтирования $$ \rho $$ у социального планировщика такой же, как и у индивидуальных домохозяйств. Тогда в качестве ''целевой функции'', требующей максимизации рассмотрим: | ||
| + | \begin{equation} | ||
| + | U~=\int_{0}^{∞}{u\left(c(t) \right) e^{-\rho t} dt} \longrightarrow \max_{c} | ||
| + | \end{equation}. | ||
| + | Где $$u\left(c(t)\right)$$ — сепарабельная функция. Тоесть полезность в каждый момент времени зависит только от текущего потребления. $$u'(c) > 0$$ и $$\lim_{t \to \infty}{u'(c)}=0 $$ $$ \lim_{t \rightarrow 0}{u'(c)}= ∞$$ | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
=== Вспомогательные утверждения === | === Вспомогательные утверждения === | ||
| − | ''' Правило Кейнса-Рамсея ''' | + | ''' Правило Кейнса-Рамсея ''' |
| + | |||
| + | Случай дискретного времени: | ||
| + | \begin{equation} | ||
| + | \frac{C_{t+1}}{C_{t}}~=\left(\frac{1+r}{1 +\rho } \right)^{\delta} | ||
| + | \end{equation} | ||
| + | Случай непрерывного времени: | ||
| + | \begin{equation} | ||
| + | \frac{u'(C_{t+1})}{u'(C_t)}~=\left(\frac{1+r}{1 +\rho } \right) | ||
| + | \end{equation} | ||
== Список литературы == | == Список литературы == | ||
С. М. Асеев, А. В. Кряжимский, Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста, | С. М. Асеев, А. В. Кряжимский, Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста, | ||
Ramsey F.P. A mathematical theory of saving. | Ramsey F.P. A mathematical theory of saving. | ||
Версия 01:10, 19 февраля 2024
Содержание
Определение
Модель Рамсея (модель Рамсея-Касса-Куманса)(модель репрезентативного агента) — неоклассическая модель оптимального экономического роста, являющаяся обобщением экономической модели Солоу. В модели Солоу норма сбережений предполагалась заданной экзогенно. В реальности она зависит от поведения жителей страны (макрорегиона), а, значит, от их собственных предпочтений. Поэтому в модели Рамсея норма сбережений определяется эндогенно.
Описание модели
Экономические обозначения
Для описания модели введём следующие обозначения, применяемые в теории экономической математики.
- $$ u( \cdot ) $$ — функция полезности,
- $$ \rho > 0 $$ — норма субъективных межвременных предпочтений, субъективно выбранный положительный параметр дисконтирования,
- $$ L( \cdot )~= L(t)$$ — численность населения в момент времени $$ t $$ , также интерпретируем как неэластичное предложение труда.
- $$ C( \cdot )~= C(t)$$ — потребительские расходы на душу населения в момент времени $$t$$,
- $$ K( \cdot )~= K(t)$$ — объём капитала в момент времени $$t$$,
- $$ K( \cdot )~= K(t) $$ — объём выпуска в момент времени $$t$$,
- $$ I( \cdot )~= I((t)$$ — объём инвестиций в момент времени $$t$$,
- $$r( \cdot ) ~= r(t) $$ — реальная доходность сбережений,
- $$ \sigma $$ — эластичность межвременного замещения (elasticity of intertemporal substitution)
Производство в экономике с репрезентативными домохозяйствами
Репрезентативное домохозяйство — домохозяйство, предпочтения которого при рациональном поведении (в задаче потребителя), приводят к таким решениям об уровне потребления и сбережения, что они эквивалентны совокупному потреблению (спросу) и сбережениям всех домохозяйств в экономике. Также предполагаем, что численность населения растёт с некоторым постоянным коэффициентом (темпом) $$\rho$$ и $$L(0)~=1$$, итого $$ L(t)~= e^{\rho t} $$
Дискретная задача центрального планирования
Постановка задачи
Задача центрального планирования(задача социального планировщика) в закрытой экономике:
Пусть $$ u( \cdot ) $$ — функция мгновенной полезности. Аргументом функции будет являться потребительский расход $$c(t)$$ в момент времени $$ t $$.
Также, ввиду, того что мы рассматриваем модель репрезентативного агента, то параметр дисконтирования $$ \rho $$ у социального планировщика такой же, как и у индивидуальных домохозяйств. Тогда в качестве целевой функции, требующей максимизации рассмотрим: \begin{equation} U~=\int_{0}^{∞}{u\left(c(t) \right) e^{-\rho t} dt} \longrightarrow \max_{c} \end{equation}. Где $$u\left(c(t)\right)$$ — сепарабельная функция. Тоесть полезность в каждый момент времени зависит только от текущего потребления. $$u'(c) > 0$$ и $$\lim_{t \to \infty}{u'(c)}=0 $$ $$ \lim_{t \rightarrow 0}{u'(c)}= ∞$$
Вспомогательные утверждения
Правило Кейнса-Рамсея
Случай дискретного времени: \begin{equation} \frac{C_{t+1}}{C_{t}}~=\left(\frac{1+r}{1 +\rho } \right)^{\delta} \end{equation}
Случай непрерывного времени: \begin{equation} \frac{u'(C_{t+1})}{u'(C_t)}~=\left(\frac{1+r}{1 +\rho } \right) \end{equation}
Список литературы
С. М. Асеев, А. В. Кряжимский, Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста, Ramsey F.P. A mathematical theory of saving.
