Неограниченная продолжаемость решений ОДУ: различия между версиями

Материал из sawiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
(не показано 48 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
Будем рассматривать действительную систему  
+
Будем рассматривать систему обыкновенных дифференциальных уравнений
 
\begin{equation}\label{syst}
 
\begin{equation}\label{syst}
 
\frac{dx}{dt} = f(t, x),
 
\frac{dx}{dt} = f(t, x),
 
\end{equation}
 
\end{equation}
где  
+
где
\begin{equation*}  
+
\begin{equation}\label{right_syst_part}
f(t, x) \in C_{t, x}^{(0, 1)} (\mathcal{I}_t^{+} \times \mathcal{R}_x^n) \Leftrightarrow \begin{cases}  
+
f(t, x) \in C_{t, x}^{(0, 1)} (\mathcal{I}_t^{+} \times \mathbb{R}_x^n) \Leftrightarrow  
f(t, x) \in C_t(\mathcal{I}_t^{+}) \; \forall x \in \mathcal{R}_x^n, \\
+
\begin{cases}  
f(t, x) \in C_x^1(\mathcal{R}_x^n) \; \forall t \in \mathcal{I}_t^{+},
+
f(t, x) \in C_t(\mathcal{I}_t^{+}) \; \forall x \in \mathbb{R}_x^n, \\
 +
f(t, x) \in C_x^1(\mathbb{R}_x^n) \; \forall t \in \mathcal{I}_t^{+},
 
\end{cases}
 
\end{cases}
\end{equation*}  
+
\end{equation}  
  
 
Здесь  
 
Здесь  
 
\begin{equation*}
 
\begin{equation*}
 
\mathcal{I}_t^{+} = \{ t \ge 0 \}, \\  
 
\mathcal{I}_t^{+} = \{ t \ge 0 \}, \\  
\mathcal{R}_x^n \subseteq \mathbb{R}^n
 
 
\end{equation*}
 
\end{equation*}
  
Пусть $$x[t] \equiv x(t; t_0, x_0)$$ - решение (\ref{syst}) с начальным условием  
+
Пусть $$x[t] \equiv x(t; t_0, x_0)$$ решение (\ref{syst}) с начальным условием  
 
\begin{equation}\label{start_cond}
 
\begin{equation}\label{start_cond}
x(t_0) = x_0
+
x(t_0) = x_0.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 +
 +
Тогда условия (\ref{right_syst_part}) гарантируют существование и единственность решения $$x[t]$$ задачи Коши (\ref{syst})-(\ref{start_cond}).
  
 
== Основные понятия ==
 
== Основные понятия ==
Если $$x[t]$$ - решение  системы (\ref{syst})-(\ref{start_cond}), то
+
Если $$x[t]$$ решение  системы (\ref{syst})-(\ref{start_cond}), то
 
# $$x[t]$$ '''неограниченно продолжаемо вправо''' (defined in the future), если $$x[t]$$ имеет смысл на промежутке $$[t_0, +\infty), \ t_0 \in \mathcal{I}_t^{+}$$,  
 
# $$x[t]$$ '''неограниченно продолжаемо вправо''' (defined in the future), если $$x[t]$$ имеет смысл на промежутке $$[t_0, +\infty), \ t_0 \in \mathcal{I}_t^{+}$$,  
# $$x[t]$$ '''имеет конечное время определения''' (finite escape time), если $$x[t]$$ определено лишь на конечном промежутке $$t_0 \le t < T < +\infty, \ t_0 \in \mathcal{I}_t^{+}$$.
+
# $$x[t]$$ имеет '''конечное время определения''' (finite escape time), если $$x[t]$$ определено лишь на конечном промежутке $$t_0 \le t < T < +\infty, \ t_0 \in \mathcal{I}_t^{+}$$.
  
 
== Непродолжаемость вправо решения, имеющего конечное время определения ==
 
== Непродолжаемость вправо решения, имеющего конечное время определения ==
 +
 +
'''Замечание.''' В силу непрерывности правой части уравнения (\ref{syst}) и выполнения условий теоремы существования и единственности решения задачи Коши (\ref{syst})-(\ref{start_cond}) система обладает свойством '''интегральной непрерывности''': если $$x[t] \equiv x(t; t_0, x_0)$$ - решение задачи Коши (\ref{syst})-(\ref{start_cond}) при $$a < t < b$$, то $$\forall \ \varepsilon > 0, \ \forall \ [\alpha, \beta] \subset (a, b) \ \exists \ \delta > 0:$$ решение $$y[t] \equiv y(t; \tau_0, y_0)$$ системы (\ref{syst}) при $$\tau_0 \in [\alpha, \beta]$$ и $$\| y(\tau_0) - x(\tau_0) \| < \delta$$ будет иметь смысл при $$\alpha \le t \le \beta$$, причём $$\| y[t] - x[t] \| < \varepsilon$$ для $$t \in [\alpha, \beta]$$ (см. рис. 1).
 +
 +
[[Файл:Figure1.png|мини|справа|Рис.1. Свойство интегральной непрерывности]]
 +
 +
[[Файл:Figure2.png|мини|справа|Рис.2. Иллюстрация к лемме 1]]
  
 
=== Лемма 1 ===
 
=== Лемма 1 ===
Строка 33: Строка 41:
 
''Если решение $$x[t]$$ имеет конечное время определения $$t_0 \le t < T < +\infty$$, то $$\|x(t)\| \rightarrow +\infty$$ при $$t \rightarrow T - 0$$.''
 
''Если решение $$x[t]$$ имеет конечное время определения $$t_0 \le t < T < +\infty$$, то $$\|x(t)\| \rightarrow +\infty$$ при $$t \rightarrow T - 0$$.''
  
'''''Доказательство.''''' Пусть $$\|x(t)\| \nrightarrow +\infty \ при \ t \rightarrow T - 0$$. Тогда $$\exists \ t_k \rightarrow T - 0: x(t_k) \rightarrow y \neq \infty \ при \ k \to +\infty $$. Рассмотрим решение $$y[t] \equiv y(t; T, y)$$, которое существует и единственно согласно теореме Коши и определено в некотором интервале $$(T - \alpha, T + \alpha), \ \alpha > 0$$. Тогда при $$t_k > T - \frac{\alpha}{4}$$ имеем  
+
'''''Доказательство.''''' Пусть $$\|x(t)\| \nrightarrow +\infty \ при \ t \rightarrow T - 0$$. Тогда $$\exists \ t_k \rightarrow T - 0: x(t_k) \rightarrow y \neq \infty \ при \ k \to +\infty $$. Рассмотрим решение $$y[t] \equiv y(t; T, y)$$ задачи Коши (\ref{syst}) с начальным условием $$y(T) = y$$, которое существует и единственно согласно теореме Коши и определено в некотором интервале $$(T - \alpha, T + \alpha), \ \alpha > 0$$ (см. рис. 2). Тогда при $$t_k > T - \frac{\alpha}{4}$$ имеем  
 
\begin{equation*}
 
\begin{equation*}
 
x(t; t_k, x(t_k)) \equiv x(t; t_0, x_0), \\
 
x(t; t_k, x(t_k)) \equiv x(t; t_0, x_0), \\
Строка 43: Строка 51:
 
== Достаточные условия неограниченной продолжаемости вправо ==
 
== Достаточные условия неограниченной продолжаемости вправо ==
  
=== Следствие из леммы 1 ===
+
<big>'''Следствие из леммы 1'''</big>
 
   
 
   
''Если решение $$x[t] \equiv x(t; t_0, x_0)$$ ограничено в своём максимальном промежутке существования $$t_0 \le t < t_0 + T$$, то оно бесконечно продолжаемо вправо, т.е. $$T = +\infty$$.''
+
''Если решение $$x[t]$$ ограничено в своём максимальном промежутке существования $$t_0 \le t < t_0 + T$$, то оно бесконечно продолжаемо вправо, т.е. $$T = +\infty$$.''
  
Рассмотрим дифференциальное неравнение
+
Рассмотрим дифференциальное неравенство
 
\begin{equation} \label{diff_ineq}
 
\begin{equation} \label{diff_ineq}
 
\dot{v} \le G(t, v), \ t \ge t_0, \ t_0 \in \mathcal{I}_t^{+},
 
\dot{v} \le G(t, v), \ t \ge t_0, \ t_0 \in \mathcal{I}_t^{+},
 
\end{equation}
 
\end{equation}
  
где $$G(t, v)$$ - некоторая непрерывная скалярная функция, определённая при $$t \ge t_0$$ и $$v \in \mathcal{R}^1$$, а $$v = v(t)$$ - непрерывная дифференцируемая положительная скалярная функция.
+
где $$G(t, v)$$ некоторая непрерывная скалярная функция, определённая при $$t \ge t_0$$ и $$v \in \mathbb{R}^1$$, а $$v = v(t)$$ непрерывная дифференцируемая положительная скалярная функция.
  
Будем говорить, что решение $$v(t) \in C^1$$ неравенства (\ref{diff_ineq}) имеет '''конечное время определения''' $$t_0 \le t < T$$, если $$\dot{v}(t) \le G(t, v)$$ при $$t_0 \le t < T$$ и $$\| v(t) \| \to +\infty$$ при $$t \to T - 0 $$.
+
Будем говорить, что решение $$v(t) \in C^1$$ неравенства (\ref{diff_ineq}) имеет '''конечное время определения''' $$t_0 \le t < T$$, если  
 +
# $$\dot{v}(t) \le G(t, v)$$ при $$t_0 \le t < T$$,
 +
# $$\| v(t) \| \to +\infty$$ при $$t \to T - 0 $$.
  
=== Теорема Ла-Салля ===
+
=== Теорема Ла–Салля ===
  
 
''Пусть''  
 
''Пусть''  
# $$S_r^c = \{ \| x \| \ge r \} \subset \mathcal{R}_x^n$$ - внешность сферы радиуса $$r$$,
+
# $$S_r^c = \{ \| x \| \ge r \} \subset \mathbb{R}_x^n$$ внешность сферы радиуса $$r$$,
 
# $$V(t, x) \in C_{t, x}^{(1, 1)} (\mathcal{I}_t^{+} \times S_r^c)$$,  
 
# $$V(t, x) \in C_{t, x}^{(1, 1)} (\mathcal{I}_t^{+} \times S_r^c)$$,  
 
# $$V(t, x) \rightrightarrows \infty$$ ''по'' $$t$$ ''при'' $$\| x \| \rightarrow \infty$$, ''равномерно на каждом конечном промежутке'' $$(a, b) \subset \mathcal{I}_t^{+}$$.  
 
# $$V(t, x) \rightrightarrows \infty$$ ''по'' $$t$$ ''при'' $$\| x \| \rightarrow \infty$$, ''равномерно на каждом конечном промежутке'' $$(a, b) \subset \mathcal{I}_t^{+}$$.  
Строка 70: Строка 80:
 
\end{equation}
 
\end{equation}
  
''где'' $$G(t, v)$$ ''- непрерывная скалярная функция,''
+
''где'' $$G(t, v)$$ '' непрерывная скалярная функция,''
  
 
$$\ \ \ \ \ 2) $$ ''соответствующее скалярное неравенство'' (\ref{diff_ineq}) ''не имеет положительных решений'' $$v(t)$$ ''с конечным временем определения,  
 
$$\ \ \ \ \ 2) $$ ''соответствующее скалярное неравенство'' (\ref{diff_ineq}) ''не имеет положительных решений'' $$v(t)$$ ''с конечным временем определения,  
Строка 76: Строка 86:
 
''то каждое решение'' $$x = x(t)$$ ''системы'' (\ref{syst}) ''неограниченно продолжимо вправо.''  
 
''то каждое решение'' $$x = x(t)$$ ''системы'' (\ref{syst}) ''неограниченно продолжимо вправо.''  
  
'''''Доказательство.''''' Допустим, что некоторое решение $$x[t]$$ системы (\ref{syst}) имеет конечное время определения $$t_0 \le t < T < \infty$$. Тогда в силу леммы 1 $$\| x(t) \| \to +\infty$$ при $$t \to T - 0$$ и, следовательно, при $$t \in (t_1, T)$$, где $$t_1 > t_0$$, решение $$x(t)$$ целиком будет содержаться в некоторой области $$S_{r_1}^c$$, где $$r_1 > r$$.  Кроме того, можно предполагать, что $$V(t, x) > 0$$ при $$(t, x) \in [t_0, T] \times S_{r_1}^c$$. Но тогда на основании неравенства (\ref{diff_ineq_2}) функция $$v(t) = V(t, x(t))$$ является положительным решением скалярного неравенства (\ref{diff_ineq}) с конечным временем определения $$t_0 \le t < T (v(t) = \infty)$$. А это невозможно в силу условия 2 теоремы. $$\blacksquare$$
+
'''''Доказательство.''''' Допустим, что некоторое решение $$x[t]$$ системы (\ref{syst}) имеет конечное время определения $$t_0 \le t < T < +\infty$$. Тогда в силу леммы 1 $$\| x(t) \| \to +\infty$$ при $$t \to T - 0$$ и, следовательно, при $$t \in (t_1, T)$$, где $$t_1 > t_0$$, решение $$x(t)$$ целиком будет содержаться в некоторой области $$S_{r_1}^c$$, где $$r_1 > r$$.  Кроме того, можно предполагать, что $$V(t, x) > 0$$ при $$(t, x) \in [t_0, T] \times S_{r_1}^c$$. Но тогда на основании неравенства (\ref{diff_ineq_2}) функция $$v(t) = V(t, x(t))$$ является положительным решением скалярного неравенства (\ref{diff_ineq}) с конечным временем определения $$t_0 \le t < T \ (v(T) = \infty)$$. А это невозможно в силу условия 2 теоремы. $$\blacksquare$$
  
 
Достаточные условия того, что неравенство (\ref{diff_ineq}) не имеет положительных решений с конечным временем определения, даёт следующее утверждение.
 
Достаточные условия того, что неравенство (\ref{diff_ineq}) не имеет положительных решений с конечным временем определения, даёт следующее утверждение.
  
=== Следствие из теоремы Ла-Салля===
+
<big>'''Следствие из теоремы Ла–Салля'''</big>
  
''Пусть'' $$G(t, v) = k(t) L(v)$$, ''где'' $$k(t) \ge 0, L(v) > 0$$ ''- скалярные функции, непрерывные при'' $$t \ge t_0, t_0 \in \mathcal{I}_t^{+}$$.  
+
''Пусть'' $$G(t, v) = k(t) L(v)$$, ''где'' $$k(t) \ge 0, L(v) > 0$$ '' скалярные функции, непрерывные при'' $$t \ge t_0, t_0 \in \mathcal{I}_t^{+}$$.  
  
 
''Если'' $$\int\limits_{t_0}^{+\infty} \frac{d v}{L(v)} = +\infty$$,  
 
''Если'' $$\int\limits_{t_0}^{+\infty} \frac{d v}{L(v)} = +\infty$$,  
Строка 88: Строка 98:
 
''то неравенство'' (\ref{diff_ineq}) ''не имеет положительных решений'' $$v(t)$$ ''с конечным временем определения.''
 
''то неравенство'' (\ref{diff_ineq}) ''не имеет положительных решений'' $$v(t)$$ ''с конечным временем определения.''
  
'''''Доказательство.''''' Пусть $$\exists \ v(t) > 0, \ t_0 \le t < +\infty$$ неравенства  
+
'''''Доказательство.''''' Пусть $$\exists \ v(t) > 0, \ t_0 \le t < +\infty$$, — решение неравенства  
 
\begin{equation}\label{diff_ineq_3}
 
\begin{equation}\label{diff_ineq_3}
 
\frac{d v}{d t} \le k(t) L(v),
 
\frac{d v}{d t} \le k(t) L(v),
Строка 98: Строка 108:
 
\end{equation}
 
\end{equation}
  
Отсюда при $$t \to T - 0$$ получаем, что левая часть неравенства (\ref{diff_ineq_4}) стремится к $$+\infty$$, а правая - ограничена, что невозможно. Следовательно, каждое положительное решение $$v(t)$$ неравенства (\ref{diff_ineq_3})  
+
Отсюда при $$t \to T - 0$$ получаем, что левая часть неравенства (\ref{diff_ineq_4}) стремится к $$+\infty$$, а правая ограничена, что невозможно. Следовательно, каждое положительное решение $$v(t)$$ неравенства (\ref{diff_ineq_3})  
 
* или имеет смысл лишь на некотором конечном промежутке $$[t_0, T)$$, причём $$\| v(t) \| \nrightarrow +\infty$$ при $$t \to T - 0$$,  
 
* или имеет смысл лишь на некотором конечном промежутке $$[t_0, T)$$, причём $$\| v(t) \| \nrightarrow +\infty$$ при $$t \to T - 0$$,  
* или же оно определено на бесконечном промежутке $$t_0 \le t < +\infty \ \blacksquare$$.
+
* или же оно определено на бесконечном промежутке $$t_0 \le t < +\infty. \ \blacksquare$$
  
 
== Пример ==
 
== Пример ==
Строка 111: Строка 121:
 
где  
 
где  
 
\begin{equation*}
 
\begin{equation*}
f(t, x) \in C_{t, x}^{(0, 1)}(\mathcal{I}_t^{+} \times \mathcal{R}_x^n).
+
f(t, x) \in C_{t, x}^{(0, 1)}(\mathcal{I}_t^{+} \times \mathbb{R}_x^n).
 
\end{equation*}
 
\end{equation*}
  
Если  
+
Если выполнен частный случай условий сублинейного роста
 
\begin{cases}
 
\begin{cases}
\| f(t, x) \| \le k(t) \| x \|, \\
+
\| f(t, x) \| \le k(t) \| x \|, \ \| x \| \ge r, \\  
\| x \| \ge r, \\  
 
 
k(t) \in C(\mathcal{I}_t^{+}), \\
 
k(t) \in C(\mathcal{I}_t^{+}), \\
 
k(t) \ge 0 \ \forall t \in \mathcal{I}_t^{+}
 
k(t) \ge 0 \ \forall t \in \mathcal{I}_t^{+}
Строка 126: Строка 135:
 
Действительно, пусть  
 
Действительно, пусть  
 
\begin{equation*}
 
\begin{equation*}
V(x) = \| x \|^2 \equiv <x, x>.
+
V(x) = \| x \|^2 \equiv (x, x).
 
\end{equation*}
 
\end{equation*}
  
 
Тогда  
 
Тогда  
 
\begin{equation*}
 
\begin{equation*}
\dot{V}(x) = <\frac{d x}{d t}, x> + <x, \frac{d x}{d t}> = 2 x^T f(t, x).
+
\dot{V}(x) = (\frac{d x}{d t}, x) + (x, \frac{d x}{d t}) = 2 x^T f(t, x).
 
\end{equation*}
 
\end{equation*}
  
Строка 144: Строка 153:
 
\end{equation*}
 
\end{equation*}
  
в силу следствия из теоремы Ла-Салля $$(L(v) = 2 v$$ не имеет положительных решений с конечным временем определения . Следовательно, на основании теоремы Ла-Салля каждое решение $$x(t)$$ системы (\ref{example}) имеет смысл при $$t_0 \le t < +\infty$$.
+
в силу следствия из теоремы Ла–Салля $$(L(v) = 2 v)$$ не имеет положительных решений с конечным временем определения . Следовательно, на основании теоремы Ла–Салля каждое решение $$x(t)$$ системы (\ref{example}) имеет смысл при $$t_0 \le t < +\infty$$.
 +
 
 +
== Список литературы ==
 +
 
 +
* Б.П. Демидович. Лекции по математической теории устойчивости. Издательство "Наука". Москва. 1967.
 +
* Ж. Ла–Салль, С. Лефшец. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. Издательство "Мир". 1964.

Текущая версия на 13:51, 21 декабря 2021

Будем рассматривать систему обыкновенных дифференциальных уравнений \begin{equation}\label{syst} \frac{dx}{dt} = f(t, x), \end{equation} где \begin{equation}\label{right_syst_part} f(t, x) \in C_{t, x}^{(0, 1)} (\mathcal{I}_t^{+} \times \mathbb{R}_x^n) \Leftrightarrow \begin{cases} f(t, x) \in C_t(\mathcal{I}_t^{+}) \; \forall x \in \mathbb{R}_x^n, \\ f(t, x) \in C_x^1(\mathbb{R}_x^n) \; \forall t \in \mathcal{I}_t^{+}, \end{cases} \end{equation}

Здесь \begin{equation*} \mathcal{I}_t^{+} = \{ t \ge 0 \}, \\ \end{equation*}

Пусть $$x[t] \equiv x(t; t_0, x_0)$$ — решение (\ref{syst}) с начальным условием \begin{equation}\label{start_cond} x(t_0) = x_0. \end{equation}

Тогда условия (\ref{right_syst_part}) гарантируют существование и единственность решения $$x[t]$$ задачи Коши (\ref{syst})-(\ref{start_cond}).

Основные понятия

Если $$x[t]$$ — решение системы (\ref{syst})-(\ref{start_cond}), то

  1. $$x[t]$$ неограниченно продолжаемо вправо (defined in the future), если $$x[t]$$ имеет смысл на промежутке $$[t_0, +\infty), \ t_0 \in \mathcal{I}_t^{+}$$,
  2. $$x[t]$$ имеет конечное время определения (finite escape time), если $$x[t]$$ определено лишь на конечном промежутке $$t_0 \le t < T < +\infty, \ t_0 \in \mathcal{I}_t^{+}$$.

Непродолжаемость вправо решения, имеющего конечное время определения

Замечание. В силу непрерывности правой части уравнения (\ref{syst}) и выполнения условий теоремы существования и единственности решения задачи Коши (\ref{syst})-(\ref{start_cond}) система обладает свойством интегральной непрерывности: если $$x[t] \equiv x(t; t_0, x_0)$$ - решение задачи Коши (\ref{syst})-(\ref{start_cond}) при $$a < t < b$$, то $$\forall \ \varepsilon > 0, \ \forall \ [\alpha, \beta] \subset (a, b) \ \exists \ \delta > 0:$$ решение $$y[t] \equiv y(t; \tau_0, y_0)$$ системы (\ref{syst}) при $$\tau_0 \in [\alpha, \beta]$$ и $$\| y(\tau_0) - x(\tau_0) \| < \delta$$ будет иметь смысл при $$\alpha \le t \le \beta$$, причём $$\| y[t] - x[t] \| < \varepsilon$$ для $$t \in [\alpha, \beta]$$ (см. рис. 1).

Рис.1. Свойство интегральной непрерывности
Рис.2. Иллюстрация к лемме 1

Лемма 1

Если решение $$x[t]$$ имеет конечное время определения $$t_0 \le t < T < +\infty$$, то $$\|x(t)\| \rightarrow +\infty$$ при $$t \rightarrow T - 0$$.

Доказательство. Пусть $$\|x(t)\| \nrightarrow +\infty \ при \ t \rightarrow T - 0$$. Тогда $$\exists \ t_k \rightarrow T - 0: x(t_k) \rightarrow y \neq \infty \ при \ k \to +\infty $$. Рассмотрим решение $$y[t] \equiv y(t; T, y)$$ задачи Коши (\ref{syst}) с начальным условием $$y(T) = y$$, которое существует и единственно согласно теореме Коши и определено в некотором интервале $$(T - \alpha, T + \alpha), \ \alpha > 0$$ (см. рис. 2). Тогда при $$t_k > T - \frac{\alpha}{4}$$ имеем \begin{equation*} x(t; t_k, x(t_k)) \equiv x(t; t_0, x_0), \\ y(t; t_k, y(t_k)) \equiv y(t; T, y). \end{equation*}

Т.к. $$x[t_k]$$ может быть выбрано сколь угодно близко к $$y$$ и $$t_k \to T$$, то при достаточно большом $$k$$ точки $$x[t_k], y[t_k]$$ сколько угодно близки между собой. А тогда на основании свойства интегральной непрерывности получим, что решение $$x(t; t_0, x_0)$$ определено, во всяком случае, на промежутке $$(t_k, t_k + \frac{\alpha}{2}) \supset (T, T + \frac{\alpha}{4})$$. А это противоречит максимальности промежутка $$[t_0, T)$$ существования решения $$x(t)$$ при $$t \ge t_0$$. Таким образом, $$\| x[t] \| \to +\infty$$ при $$t \to T - 0. \ \blacksquare$$

Достаточные условия неограниченной продолжаемости вправо

Следствие из леммы 1

Если решение $$x[t]$$ ограничено в своём максимальном промежутке существования $$t_0 \le t < t_0 + T$$, то оно бесконечно продолжаемо вправо, т.е. $$T = +\infty$$.

Рассмотрим дифференциальное неравенство \begin{equation} \label{diff_ineq} \dot{v} \le G(t, v), \ t \ge t_0, \ t_0 \in \mathcal{I}_t^{+}, \end{equation}

где $$G(t, v)$$ — некоторая непрерывная скалярная функция, определённая при $$t \ge t_0$$ и $$v \in \mathbb{R}^1$$, а $$v = v(t)$$ — непрерывная дифференцируемая положительная скалярная функция.

Будем говорить, что решение $$v(t) \in C^1$$ неравенства (\ref{diff_ineq}) имеет конечное время определения $$t_0 \le t < T$$, если

  1. $$\dot{v}(t) \le G(t, v)$$ при $$t_0 \le t < T$$,
  2. $$\| v(t) \| \to +\infty$$ при $$t \to T - 0 $$.

Теорема Ла–Салля

Пусть

  1. $$S_r^c = \{ \| x \| \ge r \} \subset \mathbb{R}_x^n$$ — внешность сферы радиуса $$r$$,
  2. $$V(t, x) \in C_{t, x}^{(1, 1)} (\mathcal{I}_t^{+} \times S_r^c)$$,
  3. $$V(t, x) \rightrightarrows \infty$$ по $$t$$ при $$\| x \| \rightarrow \infty$$, равномерно на каждом конечном промежутке $$(a, b) \subset \mathcal{I}_t^{+}$$.

Тогда, если

$$\ \ \ \ \ 1) \ \frac{\partial V}{\partial t}(t, x)$$ в силу системы (\ref{syst}) при $$t \ge t_0$$ и $$x \in S_r^c$$ удовлетворяет неравенству \begin{equation}\label{diff_ineq_2} \frac{\partial V}{\partial t}(t, x) \le G(t, V(t, x)), \end{equation}

где $$G(t, v)$$ — непрерывная скалярная функция,

$$\ \ \ \ \ 2) $$ соответствующее скалярное неравенство (\ref{diff_ineq}) не имеет положительных решений $$v(t)$$ с конечным временем определения,

то каждое решение $$x = x(t)$$ системы (\ref{syst}) неограниченно продолжимо вправо.

Доказательство. Допустим, что некоторое решение $$x[t]$$ системы (\ref{syst}) имеет конечное время определения $$t_0 \le t < T < +\infty$$. Тогда в силу леммы 1 $$\| x(t) \| \to +\infty$$ при $$t \to T - 0$$ и, следовательно, при $$t \in (t_1, T)$$, где $$t_1 > t_0$$, решение $$x(t)$$ целиком будет содержаться в некоторой области $$S_{r_1}^c$$, где $$r_1 > r$$. Кроме того, можно предполагать, что $$V(t, x) > 0$$ при $$(t, x) \in [t_0, T] \times S_{r_1}^c$$. Но тогда на основании неравенства (\ref{diff_ineq_2}) функция $$v(t) = V(t, x(t))$$ является положительным решением скалярного неравенства (\ref{diff_ineq}) с конечным временем определения $$t_0 \le t < T \ (v(T) = \infty)$$. А это невозможно в силу условия 2 теоремы. $$\blacksquare$$

Достаточные условия того, что неравенство (\ref{diff_ineq}) не имеет положительных решений с конечным временем определения, даёт следующее утверждение.

Следствие из теоремы Ла–Салля

Пусть $$G(t, v) = k(t) L(v)$$, где $$k(t) \ge 0, L(v) > 0$$ — скалярные функции, непрерывные при $$t \ge t_0, t_0 \in \mathcal{I}_t^{+}$$.

Если $$\int\limits_{t_0}^{+\infty} \frac{d v}{L(v)} = +\infty$$,

то неравенство (\ref{diff_ineq}) не имеет положительных решений $$v(t)$$ с конечным временем определения.

Доказательство. Пусть $$\exists \ v(t) > 0, \ t_0 \le t < +\infty$$, — решение неравенства \begin{equation}\label{diff_ineq_3} \frac{d v}{d t} \le k(t) L(v), \end{equation}

такое, что $$\| v(T) \| = +\infty$$. Тогда \begin{equation}\label{diff_ineq_4} \int\limits_{v(t_0)}^{v(t)} \frac{d v}{L(v)} \le \int\limits_{t_0}^{t} k(\tau) d\tau. \end{equation}

Отсюда при $$t \to T - 0$$ получаем, что левая часть неравенства (\ref{diff_ineq_4}) стремится к $$+\infty$$, а правая — ограничена, что невозможно. Следовательно, каждое положительное решение $$v(t)$$ неравенства (\ref{diff_ineq_3})

  • или имеет смысл лишь на некотором конечном промежутке $$[t_0, T)$$, причём $$\| v(t) \| \nrightarrow +\infty$$ при $$t \to T - 0$$,
  • или же оно определено на бесконечном промежутке $$t_0 \le t < +\infty. \ \blacksquare$$

Пример

Рассмотрим действительную систему \begin{equation}\label{example} \frac{d x}{d t} = f(t, x), \end{equation}

где \begin{equation*} f(t, x) \in C_{t, x}^{(0, 1)}(\mathcal{I}_t^{+} \times \mathbb{R}_x^n). \end{equation*}

Если выполнен частный случай условий сублинейного роста \begin{cases} \| f(t, x) \| \le k(t) \| x \|, \ \| x \| \ge r, \\ k(t) \in C(\mathcal{I}_t^{+}), \\ k(t) \ge 0 \ \forall t \in \mathcal{I}_t^{+} \end{cases}

то все решения $$x(t)$$ системы (\ref{example}) неограниченно продолжаемы вправо.

Действительно, пусть \begin{equation*} V(x) = \| x \|^2 \equiv (x, x). \end{equation*}

Тогда \begin{equation*} \dot{V}(x) = (\frac{d x}{d t}, x) + (x, \frac{d x}{d t}) = 2 x^T f(t, x). \end{equation*}

Используя неравенство Коши, получим \begin{equation*} \dot{V}(x) \le 2 \| x^T \| \| f(t, x) \| \le 2 k(t) V(x) \equiv G(t, V(x)) \end{equation*}

при $$t \ge t_0$$ и $$\| x \| \ge r$$. Но неравенство \begin{equation*} \dot{v}(t) \le 2 k(t) v(t) \end{equation*}

в силу следствия из теоремы Ла–Салля $$(L(v) = 2 v)$$ не имеет положительных решений с конечным временем определения . Следовательно, на основании теоремы Ла–Салля каждое решение $$x(t)$$ системы (\ref{example}) имеет смысл при $$t_0 \le t < +\infty$$.

Список литературы

  • Б.П. Демидович. Лекции по математической теории устойчивости. Издательство "Наука". Москва. 1967.
  • Ж. Ла–Салль, С. Лефшец. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. Издательство "Мир". 1964.