Обобщенные функции: различия между версиями

Материал из sawiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
(не показано 9 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
Когда физикам перестает хватать существующего математического аппарата, они придумывают новый математический аппарат. Так было с Ньютоном, который [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 придумал матан], так было с Фурье, который придумал раскладывать в тригонометрические ряды все подряд, так произошло и с обобщенными функциями. Кратко проблему можно поставить так: как выразить плотность материальной точки функцией от координат так, чтобы проинтегрировав ее, мы бы получали корректную массу?
+
Обобщенные функции — один из удобных инструментов для работы с идеальными физическими моделями. Кратко проблему, которую они решают, можно поставить так: как выразить плотность материальной точки функцией от координат так, чтобы проинтегрировав ее, мы бы получали корректную массу?
 +
Объем материальной точки строго равен нулю, а значит, умножив объем на любую функцию плотности и проинтегрировав, получится так же 0. Значит, нужен некоторый более общий математический аппарат для работы с подобными объектами и моделями.
  
 
== Определения ==
 
== Определения ==
Строка 18: Строка 19:
 
Сопряженным к нему называется пространство $$\mathscr{L}_\infty$$ таких функций $$g(\cdot)$$, что $$\mathrm{ess} \sup\limits_{x \in [0, 1]} \left| g(x) \right| < \infty$$.
 
Сопряженным к нему называется пространство $$\mathscr{L}_\infty$$ таких функций $$g(\cdot)$$, что $$\mathrm{ess} \sup\limits_{x \in [0, 1]} \left| g(x) \right| < \infty$$.
 
И тогда запись $$\int_0^1 f(x) g(x)\,dx$$ символизирует результат действия функционала $$g$$ на функцию $$f$$.
 
И тогда запись $$\int_0^1 f(x) g(x)\,dx$$ символизирует результат действия функционала $$g$$ на функцию $$f$$.
Также действие функционала записывают в угловых скобках (аллюзия на гильбертовы пространства): $$\left< g, f \right>$$.
+
Также действие функционала записывают в угловых скобках (потому что в гильбертовых пространствах скалярное произведение можно рассматривать как действие функционала на элемент): $$\left< g, f \right>$$.
  
 
Теперь рассмотрим пространство $$\mathscr{D}$$ таких функций, что:
 
Теперь рассмотрим пространство $$\mathscr{D}$$ таких функций, что:
Строка 24: Строка 25:
 
# $$\supp f(\cdot) \in \mathrm{comp}(\mathbb{R})$$ — носитель функции (множество точек, на которых она отлична от нуля) является компактом.
 
# $$\supp f(\cdot) \in \mathrm{comp}(\mathbb{R})$$ — носитель функции (множество точек, на которых она отлична от нуля) является компактом.
 
Это пространство будем называть пространством ''основных функций''.
 
Это пространство будем называть пространством ''основных функций''.
Плавно подошли к самому главному определению:
+
Теперь дадим определение обобщенным функциям:
 
{| class="wikitable" style="margin: auto;"
 
{| class="wikitable" style="margin: auto;"
 
|-
 
|-
Строка 35: Строка 36:
 
\forall f(\cdot) \in \mathscr{D} \quad \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x)\,dx = f(0)
 
\forall f(\cdot) \in \mathscr{D} \quad \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x)\,dx = f(0)
 
\]
 
\]
Интеграл здесь на самом деле не интеграл, такая запись символизирует действие функционала на элемент пространства.
+
Интеграл здесь на самом деле не является интегралом в смысле Римана или Лебега, такая запись лишь символизирует действие функционала на элемент пространства.
  
 
== Дифференцирование обобщенных функций ==
 
== Дифференцирование обобщенных функций ==
Строка 46: Строка 47:
 
-\left<g, f' \right>.
 
-\left<g, f' \right>.
 
\]
 
\]
 +
Здесь первое слагаемое обнулилось, так как функция $$f(\cdot)$$ имеет компактный носитель, а значит $$f(-\infty) = f(+\infty) = 0$$.
 +
 +
Рассмотрим для примера [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%A5%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%B9%D0%B4%D0%B0 ''функцию Хевисайда'']:
 +
\[
 +
H(x) =
 +
\begin{cases}
 +
0, & x < 0, \\
 +
1, & x \geqslant 0.
 +
\end{cases}
 +
\]
 +
Тогда ее производная:
 +
\[
 +
\left< H', f \right> =
 +
-\left< H, f' \right> =
 +
-\int\limits_{0}^{+\infty}f'(x)\,dx =
 +
f(0) - f(+\infty) = f(0)
 +
\]
 +
То есть в классе обобщенных функций существует производная у функции Хевисайда и это $$\delta$$-функция.
 +
 +
Это свойство можно использовать для описания распределений дискретных случайных величин.
 +
Если случайная величина $$\xi$$ принимает значения $$x_1, x_2, x_3, \ldots$$ с вероятностями $$p_1, p_2, p_3, \ldots$$, то ее функцию распределения можно записать через сумму функций Хевисайда:
 +
\[
 +
\mathbb{P}(\xi < x) = \sum\limits_k p_k H(x - x_k).
 +
\]
 +
Продифференцировав в обобщенном смысле можно получить выражение для плотности
 +
\[
 +
p_\xi(x) = \sum\limits_k p_k\delta(x - x_k).
 +
\]
 +
 +
== $$\delta$$-образные последовательности ==
 +
Последовательность функций $$g_n(x)$$ называется ''$$\delta$$-образной последовательностью'', если для любой основной функции существует следующий предел:
 +
\[
 +
\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g_n(x) f(x)\,dx = f(0).
 +
\]
 +
Вот некоторые примеры:
 +
# $$ f_n(x) = \frac{n}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{-\frac{x^2 n^2}{2}\right\}$$
 +
# $$ f_n(x) = n/2 \bigl[-1/n \leqslant x \leqslant 1/n\bigr]$$
 +
# $$ f_n(x) = \frac{\sin nx}{\pi x}$$

Текущая версия на 13:02, 21 декабря 2020

Обобщенные функции — один из удобных инструментов для работы с идеальными физическими моделями. Кратко проблему, которую они решают, можно поставить так: как выразить плотность материальной точки функцией от координат так, чтобы проинтегрировав ее, мы бы получали корректную массу? Объем материальной точки строго равен нулю, а значит, умножив объем на любую функцию плотности и проинтегрировав, получится так же 0. Значит, нужен некоторый более общий математический аппарат для работы с подобными объектами и моделями.

Определения

Носителем функции называется подмножество области определения функции, на котором она отлична от нуля.

Линейным непрерывным функционалом на линейном пространстве $$\mathscr{L}$$ называется отображение $$f \colon \mathscr{L} \mapsto \mathbb{R}\ \text{или}\ \mathbb{C}$$, для которого выполнено:

  1. $$\forall x, y \in \mathscr{L}\quad f(x + y) = f(x) + f(y)$$
  2. $$\forall x \in \mathscr{L}\quad \forall \alpha \in \mathbb{R}\ (\mathbb{C})\quad f(\alpha x) = \alpha f(x)$$
  3. $$\forall {x_n}\colon\ \|x_n - x\| \rightarrow 0 \quad f(x_n) \rightarrow f(x)$$

Первые 2 пункта отвечают за линейность, а 3-й пункт отвечает за непрерывность.

Теперь рассмотрим некоторое линейное пространство $$\mathscr{L}$$. Тогда сопряженным к $$\mathscr{L}$$ называется пространство всех линейный непрерывных функционалов над $$\mathscr{L}$$.

Во многих линейных функциональных пространствах действие линейного функционала на элемент пространства (то есть на функцию) записывают как интеграл от произведения этой функции на какую-то другую, которая символизирует тот самый линейный непрерывный функционал. Например, рассмотрим пространство $$\mathscr{L}_1[0, 1]$$. Это пространство функций, для которых $$\int_0^1 \left| f(x) \right|\,dx < \infty$$. Сопряженным к нему называется пространство $$\mathscr{L}_\infty$$ таких функций $$g(\cdot)$$, что $$\mathrm{ess} \sup\limits_{x \in [0, 1]} \left| g(x) \right| < \infty$$. И тогда запись $$\int_0^1 f(x) g(x)\,dx$$ символизирует результат действия функционала $$g$$ на функцию $$f$$. Также действие функционала записывают в угловых скобках (потому что в гильбертовых пространствах скалярное произведение можно рассматривать как действие функционала на элемент): $$\left< g, f \right>$$.

Теперь рассмотрим пространство $$\mathscr{D}$$ таких функций, что:

  1. $$\mathscr{D} \in C^\infty(\mathbb{R})$$ — функции из $$\mathscr{D}$$ являются бесконечно дифференцируемыми.
  2. $$\supp f(\cdot) \in \mathrm{comp}(\mathbb{R})$$ — носитель функции (множество точек, на которых она отлична от нуля) является компактом.

Это пространство будем называть пространством основных функций. Теперь дадим определение обобщенным функциям:

Обобщенной функцией называется линейный непрерывный функционал над пространством $$\mathscr{D}$$ основных функций.

Рассмотрим самую популярную из обобщенных функций: $$\delta$$-функцию. $$\delta$$-функцией называется обобщенная функция, такая что \[ \forall f(\cdot) \in \mathscr{D} \quad \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x)\,dx = f(0) \] Интеграл здесь на самом деле не является интегралом в смысле Римана или Лебега, такая запись лишь символизирует действие функционала на элемент пространства.

Дифференцирование обобщенных функций

Обобщенные функции можно не только интегрировать, но и дифференцировать, для этого запишем формулу интегрирования по частям для обобщенной функции $$g(\cdot)$$ и основной функции $$f(\cdot)$$: \[ \left< g', f \right> = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g'(x) f(x)\,dx = g(x)f(x) \bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g(x)f'(x)\,dx = -\left<g, f' \right>. \] Здесь первое слагаемое обнулилось, так как функция $$f(\cdot)$$ имеет компактный носитель, а значит $$f(-\infty) = f(+\infty) = 0$$.

Рассмотрим для примера функцию Хевисайда: \[ H(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ 1, & x \geqslant 0. \end{cases} \] Тогда ее производная: \[ \left< H', f \right> = -\left< H, f' \right> = -\int\limits_{0}^{+\infty}f'(x)\,dx = f(0) - f(+\infty) = f(0) \] То есть в классе обобщенных функций существует производная у функции Хевисайда и это $$\delta$$-функция.

Это свойство можно использовать для описания распределений дискретных случайных величин. Если случайная величина $$\xi$$ принимает значения $$x_1, x_2, x_3, \ldots$$ с вероятностями $$p_1, p_2, p_3, \ldots$$, то ее функцию распределения можно записать через сумму функций Хевисайда: \[ \mathbb{P}(\xi < x) = \sum\limits_k p_k H(x - x_k). \] Продифференцировав в обобщенном смысле можно получить выражение для плотности \[ p_\xi(x) = \sum\limits_k p_k\delta(x - x_k). \]

$$\delta$$-образные последовательности

Последовательность функций $$g_n(x)$$ называется $$\delta$$-образной последовательностью, если для любой основной функции существует следующий предел: \[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g_n(x) f(x)\,dx = f(0). \] Вот некоторые примеры:

  1. $$ f_n(x) = \frac{n}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{-\frac{x^2 n^2}{2}\right\}$$
  2. $$ f_n(x) = n/2 \bigl[-1/n \leqslant x \leqslant 1/n\bigr]$$
  3. $$ f_n(x) = \frac{\sin nx}{\pi x}$$