Преобразование Лапласа: различия между версиями
Janus (обсуждение | вклад) м |
Janus (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию $$F(p)$$ комплексного переменного (изображение) с функцией $$f(t)$$ вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения. Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими. | + | Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию $$F(p)$$ комплексного переменного (''изображение'') с функцией $$f(t)$$ вещественного переменного (''оригинал''). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения. Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими. |
== Определение == | == Определение == | ||
| + | |||
| + | '''Преобразованием Лапласа''' действительнозначной функции $$f(t)$$ называется функция $$F(p)$$ комплексной переменной такая, что | ||
| + | \[ | ||
| + | F(p) = \int\limits^{+\infty}_0 f(t) e^{-pt} dt. | ||
| + | \] | ||
| + | |||
| + | Правая часть этого выражения называется ''интегралом Лапласа''. | ||
| + | |||
| + | Выясним, при каких условиях существует интеграл Лапласа для заданной функции $$f(t)$$. Будем рассматривать функцию $$f_\mu(t) = e^{-\mu t}f(t)$$, $$\mu\in\mathbb{R}$$. | ||
Версия 14:49, 13 ноября 2020
Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию $$F(p)$$ комплексного переменного (изображение) с функцией $$f(t)$$ вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения. Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.
Определение
Преобразованием Лапласа действительнозначной функции $$f(t)$$ называется функция $$F(p)$$ комплексной переменной такая, что \[ F(p) = \int\limits^{+\infty}_0 f(t) e^{-pt} dt. \]
Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.
Выясним, при каких условиях существует интеграл Лапласа для заданной функции $$f(t)$$. Будем рассматривать функцию $$f_\mu(t) = e^{-\mu t}f(t)$$, $$\mu\in\mathbb{R}$$.
