Приложения преобразования Фурье: различия между версиями
Temirlan (обсуждение | вклад) |
Temirlan (обсуждение | вклад) |
||
Строка 14: | Строка 14: | ||
$$ f_X(x) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-itx}\phi_X(t) dt, x \in \mathbb{R}. $$ | $$ f_X(x) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-itx}\phi_X(t) dt, x \in \mathbb{R}. $$ | ||
− | ====Применение преобразования | + | ====Применение преобразования Фурье для решения уравнений в частных производных:==== |
Рассмотрим свободные колебания бесконечного стержня. <br /> Они описываются следующей системой уравнений в частных производных: <br /> | Рассмотрим свободные колебания бесконечного стержня. <br /> Они описываются следующей системой уравнений в частных производных: <br /> | ||
\( | \( | ||
Строка 25: | Строка 25: | ||
\end{equation*} | \end{equation*} | ||
\) <br /> | \) <br /> | ||
− | Применим преобразование | + | Применим преобразование Фурье к этой системе: <br /> |
\( | \( | ||
\begin{equation*} | \begin{equation*} | ||
Строка 36: | Строка 36: | ||
\) <br /> | \) <br /> | ||
Решением уравнения является функция $$Y = F(\lambda)\cos(a\lambda)+G(\lambda)\sin(a\lambda^2t)$$ <br /> | Решением уравнения является функция $$Y = F(\lambda)\cos(a\lambda)+G(\lambda)\sin(a\lambda^2t)$$ <br /> | ||
− | Т.к. преобразование | + | Т.к. преобразование Фурье для функции $$f(t) = e^{-\alpha t^2}$$ имеет вид $$F(\lambda) = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}e^{-\frac{\lambda^2}{4\alpha}}$$, то взяв в качестве $$\alpha = iat$$, получим <br /> |
− | + | \( | |
+ | e^{-iat\lambda^2} \rightarrow \sqrt{\frac{\pi}{iat}} e^{-\frac{X^2}{4iat}} = \sqrt{\frac{\pi}{at}} \frac{(-1-i)}{\sqrt{2}} e^{\frac{iX^2}{4at}} = \{ \text{Распишем Re и Im} \} = \sqrt{\frac{\pi}{2at}} \left( \cos(\frac{X^2}{4at}) + \sin(\frac{X^2}{4at}) \right) + i \sqrt{\frac{\pi}{2at}}\left( -\cos(\frac{X^2}{4at}) + \sin(\frac{X^2}{4at}) \right) | ||
+ | \) <br /> | ||
+ | $$ y = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x -\xi)F^{-1}[\cos(a\lambda^2 t)](\xi)d\xi + \int\limits_{-\infty}^\infty g(x-\xi)F^{-1}[\sin(a\lambda^2 t)](\xi) d\xi $$ <br /> | ||
+ | $$ \implies y = \frac{1}{2\sqrt{2\pi at}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(x-\xi)(\cos(\frac{\xi}{4at}) - \sin(\frac{\xi^2}{4at}))d\xi = \{ \text{замена } u = \frac{\xi}{\sqrt{4at}} \} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty f(x - 2\sqrt{at}u)(\cos(u^2)+\sin(u^2))du + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty g(x - 2\sqrt{at}u)(\cos(u^2) - \sin(u^2))du $$ <br /> | ||
+ | -- ответ в виде интеграла. |
Версия 00:12, 28 декабря 2020
Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временно́го пространства в частотное пространство.
Преобразование Фурье в теории вероятностей:
Рассмотрим $$(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$$ - вероятностное пространство.
Пусть есть случайная величина $$X$$ с распределением $$\mathbb{P}^X$$. Тогда характеристическая функция задаётся формулой:
$$ \phi_X(t) = \mathbb{E}\left[e^{itX}\right], $$
Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:
$$ \phi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{itx} \mathbb{P}^X(dx), $$
то есть характеристическая функция $$-$$ обратное преобразование Фурье распределения случайной величины.
Если дана случайная величина $$X$$, с характеристической функцией $$\phi_X(t)$$. Тогда
- если $$X$$ дискретна и принимает целые значения, то
$$\mathbb{P}(X = k) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi e^{-itk} \phi_X(t)dt, k \in \mathbb{Z}; $$
- если $$X$$ абсолютно непрерывна, и $$f_X(x) - $$ ее плотность, то
$$ f_X(x) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-itx}\phi_X(t) dt, x \in \mathbb{R}. $$
Применение преобразования Фурье для решения уравнений в частных производных:
Рассмотрим свободные колебания бесконечного стержня.
Они описываются следующей системой уравнений в частных производных:
\(
\begin{equation*}
\begin{cases}
\frac{\partial^4 y}{\partial x^4} + \frac{1}{a^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = 0, \quad a > 0, x \in \mathbb{R}, t \ge 0 \\
y(x, 0) = f(x) \\
y_t(x, 0) = ag''(x)
\end{cases}
\end{equation*}
\)
Применим преобразование Фурье к этой системе:
\(
\begin{equation*}
\begin{cases}
\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2} + a^2 \lambda^4 Y = 0 \\
Y(\lambda, 0) = F(\lambda) \\
Y_t(\lambda, 0) = a \lambda^2 G(\lambda)
\end{cases}
\end{equation*}
\)
Решением уравнения является функция $$Y = F(\lambda)\cos(a\lambda)+G(\lambda)\sin(a\lambda^2t)$$
Т.к. преобразование Фурье для функции $$f(t) = e^{-\alpha t^2}$$ имеет вид $$F(\lambda) = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}e^{-\frac{\lambda^2}{4\alpha}}$$, то взяв в качестве $$\alpha = iat$$, получим
\(
e^{-iat\lambda^2} \rightarrow \sqrt{\frac{\pi}{iat}} e^{-\frac{X^2}{4iat}} = \sqrt{\frac{\pi}{at}} \frac{(-1-i)}{\sqrt{2}} e^{\frac{iX^2}{4at}} = \{ \text{Распишем Re и Im} \} = \sqrt{\frac{\pi}{2at}} \left( \cos(\frac{X^2}{4at}) + \sin(\frac{X^2}{4at}) \right) + i \sqrt{\frac{\pi}{2at}}\left( -\cos(\frac{X^2}{4at}) + \sin(\frac{X^2}{4at}) \right)
\)
$$ y = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x -\xi)F^{-1}[\cos(a\lambda^2 t)](\xi)d\xi + \int\limits_{-\infty}^\infty g(x-\xi)F^{-1}[\sin(a\lambda^2 t)](\xi) d\xi $$
$$ \implies y = \frac{1}{2\sqrt{2\pi at}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(x-\xi)(\cos(\frac{\xi}{4at}) - \sin(\frac{\xi^2}{4at}))d\xi = \{ \text{замена } u = \frac{\xi}{\sqrt{4at}} \} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty f(x - 2\sqrt{at}u)(\cos(u^2)+\sin(u^2))du + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty g(x - 2\sqrt{at}u)(\cos(u^2) - \sin(u^2))du $$
-- ответ в виде интеграла.