Приложения преобразования Фурье
Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временно́го пространства в частотное пространство.
Преобразование Фурье в теории вероятностей:
Рассмотрим $$(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$$ - вероятностное пространство.
$$X$$ - случайная величина.
- Характеристическая функция: $$f(t) = \mathbb{E}e^{itX}$$
В частности, если $$X$$ - абсолютно непрерывная с.в., то $$f(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}p(x)e^{itX}dX$$
Если $$X$$ - дискретная с.в., то $$f(t) = \sum_{k=1}^{\infty} e^{itX_k} p_k$$
Применение преобразования фурье для решения уравнений в частных производных:
Рассмотрим свободные колебания бесконечного стержня.
Они описываются следующей системой уравнений в частных производных:
\(
\begin{equation*}
\begin{cases}
\frac{\partial^4 y}{\partial x^4} + \frac{1}{a^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = 0, \quad a > 0, x \in \mathbb{R}, t \ge 0 \\
y(x, 0) = f(x) \\
y_t(x, 0) = ag''(x)
\end{cases}
\end{equation*}
\)
Применим преобразование фурье к этой системе:
\(
\begin{equation*}
\begin{cases}
\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2} + a^2 \lambda^4 Y = 0 \\
Y(\lambda, 0) = F(\lambda) \\
Y_t(\lambda, 0) = a \lambda^2 G(\lambda)
\end{cases}
\end{equation*}
\)
Решением уравнения является функция $$Y = F(\lambda)\cos(a\lambda)+G(\lambda)\sin(a\lambda^2t)$$
Т.к. преобразование фурье для функции $$f(t) = e^{-\alpha t^2}$$ имеет вид $$F(\lambda) = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}e^{-\frac{\lambda^2}{4\alpha}}$$, то взяв в качестве $$\alpha = iat$$, получим
$$e^{-iat\lambda^2} \rightarrow \sqrt{\frac{\pi}{iat}}e^{-\frac{X^2}{4iat}} = \sqrt{\frac{\pi}{4iat}}\frac{-1-i}{\sqrt{2}}e^{\frac{iX^2}{4at}} = \{ \text{Распишем Re и Im} \} = \\ \sqrt{\frac{\pi}{2at}}\left( \cos(\frac{x^2}{4at}) + \sin(\frac{x^2}{4at}) \right) + i \sqrt{\frac{\pi}{2at}}\left( -\cos(\frac{x^2}{4at}) + \sin(\frac{x^2}{4at}) \right)$$
