Приложения преобразования Фурье
Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временно́го пространства в частотное пространство.
Преобразование Фурье в теории вероятностей:
Рассмотрим $$(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$$ - вероятностное пространство.
Пусть есть случайная величина $$X$$ с распределением $$\mathbb{P}^X$$. Тогда характеристическая функция задаётся формулой:
$$ \phi_X(t) = \mathbb{E}\left[e^{itX}\right], $$
Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:
$$ \phi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{itx} \mathbb{P}^X(dx), $$
то есть характеристическая функция $$-$$ обратное преобразование Фурье распределения случайной величины.
Если дана случайная величина $$X$$, с характеристической функцией $$\phi_X(t)$$. Тогда
- если $$X$$ дискретна и принимает целые значения, то
$$\mathbb{P}(X = k) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi e^{-itk} \phi_X(t)dt, k \in \mathbb{Z}; $$
- если $$X$$ абсолютно непрерывна, и $$f_X(x) - $$ ее плотность, то
$$ f_X(x) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-itx}\phi_X(t) dt, x \in \mathbb{R}. $$
Применение преобразования Фурье для решения уравнений в частных производных:
Рассмотрим свободные колебания бесконечного стержня.
Они описываются следующей системой уравнений в частных производных:
\(
\begin{equation*}
\begin{cases}
\frac{\partial^4 y}{\partial x^4} + \frac{1}{a^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = 0, \quad a > 0, x \in \mathbb{R}, t \ge 0 \\
y(x, 0) = f(x) \\
y_t(x, 0) = ag''(x)
\end{cases}
\end{equation*}
\)
Применим преобразование Фурье к этой системе:
\(
\begin{equation*}
\begin{cases}
\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2} + a^2 \lambda^4 Y = 0 \\
Y(\lambda, 0) = F(\lambda) \\
Y_t(\lambda, 0) = a \lambda^2 G(\lambda)
\end{cases}
\end{equation*}
\)
Решением уравнения является функция $$Y = F(\lambda)\cos(a\lambda)+G(\lambda)\sin(a\lambda^2t)$$
Т.к. преобразование Фурье для функции $$f(t) = e^{-\alpha t^2}$$ имеет вид $$F(\lambda) = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}e^{-\frac{\lambda^2}{4\alpha}}$$, то взяв в качестве $$\alpha = iat$$, получим
\(
e^{-iat\lambda^2} \rightarrow \sqrt{\frac{\pi}{iat}} e^{-\frac{X^2}{4iat}} = \sqrt{\frac{\pi}{at}} \frac{(-1-i)}{\sqrt{2}} e^{\frac{iX^2}{4at}} = \{ \text{Распишем Re и Im} \} = \sqrt{\frac{\pi}{2at}} \left( \cos(\frac{X^2}{4at}) + \sin(\frac{X^2}{4at}) \right) + i \sqrt{\frac{\pi}{2at}}\left( -\cos(\frac{X^2}{4at}) + \sin(\frac{X^2}{4at}) \right)
\)
$$ y = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x -\xi)F^{-1}[\cos(a\lambda^2 t)](\xi)d\xi + \int\limits_{-\infty}^\infty g(x-\xi)F^{-1}[\sin(a\lambda^2 t)](\xi) d\xi $$
$$ \implies y = \frac{1}{2\sqrt{2\pi at}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(x-\xi)(\cos(\frac{\xi}{4at}) - \sin(\frac{\xi^2}{4at}))d\xi = \{ \text{замена } u = \frac{\xi}{\sqrt{4at}} \} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty f(x - 2\sqrt{at}u)(\cos(u^2)+\sin(u^2))du + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty g(x - 2\sqrt{at}u)(\cos(u^2) - \sin(u^2))du $$
-- ответ в виде интеграла.
