Ряд Фурье: различия между версиями

Материал из sawiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 1: Строка 1:
На протяжении всей своей истории человечество стремилось придумать способ, как приближать функции на отрезке какими-то хорошими функциями с известными и приятными свойствами, легко поддающимися анализу. Одно из решений проблемы придумал [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5,_%D0%96%D0%B0%D0%BD-%D0%91%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84 Жан-Батист Фурье], когда решал уравнение теплопроводности. Здесь изложены самые общие сведения о тригонометрическом ряде Фурье.
+
На протяжении всей своей истории человечество стремилось придумать способ, как приближать функции на отрезке какими-то хорошими функциями с известными и приятными свойствами, легко поддающимися анализу. Одно из решений проблемы придумал [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5,_%D0%96%D0%B0%D0%BD-%D0%91%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84 Жан-Батист Фурье], когда решал уравнение теплопроводности. Здесь изложены самые общие сведения о рядах Фурье.
  
== Определение ==
+
== Тригонометрический ряд Фурье ==
  
 
[[File:Fourier series and transform.gif|frame|right|Наглядная иллюстрация принципа работы тригонометрического ряда Фурье.]]
 
[[File:Fourier series and transform.gif|frame|right|Наглядная иллюстрация принципа работы тригонометрического ряда Фурье.]]

Версия 11:33, 21 декабря 2020

На протяжении всей своей истории человечество стремилось придумать способ, как приближать функции на отрезке какими-то хорошими функциями с известными и приятными свойствами, легко поддающимися анализу. Одно из решений проблемы придумал Жан-Батист Фурье, когда решал уравнение теплопроводности. Здесь изложены самые общие сведения о рядах Фурье.

Тригонометрический ряд Фурье

Наглядная иллюстрация принципа работы тригонометрического ряда Фурье.

Пусть функция $$f(\cdot)$$ ограничена на $$\mathbb{R}$$, $$(2\pi)$$-периодична и интегрируема по Риману на любом конечном отрезке $$[a, b] \subset \mathbb{R}$$. Тогда рядом Фурье для этой функции будем называть следующую формальную запись: \[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (a_k \cos kx + b_k \sin kx), \] где коэффициенты $$a_k$$ и $$b_k$$ вычисляются по следующим формулам: \[ a_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos kt \,dt, \quad k \in \mathbb{N}_0, \\ b_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin kt \,dt, \quad k \in \mathbb{N}. \]

Сходимость ряда

Ряды хороши тем, что они сходятся. Ряд Фурье хорош тем, что иногда он сходится к значению функции, которую мы разложили (то есть вычислили коэффициенты $$a_k$$ и $$b_k$$) в ряд. Что-то проясняет следующая теорема.
Достаточные условия Дирихле: пусть $$f(\cdot)$$ имеет на $$[-\pi, \pi]$$

  • конечное число локальных экстремумов,
  • не более счетное число разрывов I рода,

Тогда в любой точке на отрезке $$[-\pi, \pi]$$ ряд сходится поточечно к $$\frac{1}{2}\bigl( f(x+0) + f(x-0) \bigr)$$.

Комплексная форма записи

Только что произошло разложение функции в пространстве $$L^2$$ по полной ортогональной системе $$\left\{1, \cos kx, \sin kx \right\},\ k \in \mathbb{N}$$. Попробуем переписать это через комплексную экспоненту, вспомнив представление через нее для перечисленных функций: \[ 1 = e^{i0x}, \quad \cos kx = \frac{e^{ikx} + e^{-ikx}}{2}, \quad \sin kx = \frac{e^{ikx} - e^{-ikx}}{2}, k \in \mathbb{N}. \]

Затем положим

\begin{align*} \begin{cases} c_{-k} &= (a_k + ib_k)/2, \quad k \in \mathbb{N}, \\ c_0 &= a_0 / 2, \\ c_k &= (a_k - ib_k)/2, \quad k \in \mathbb{N}. \end{cases} \end{align*}

Тогда ряд Фурье записывается в виде:

\[ f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{ikx},\\ c_k = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-ikt}\,dt, \quad k \in \mathbb{Z}. \]

Этот ряд можно представлять как сумму бесконечного числа гармонических колебаний, где

  • $$\lvert c_k \rvert$$ — амплитуда колебаний,
  • $$k$$ — их частота,
  • $$\arg c_k$$ — начальная фаза.