Теорема о чередовании нулей и её приложения

Постановка задачи

Рассмотрим движение материальной точки в нелинейном поле:

\begin{equation*} \ddot x + f(x, \dot x) = u, \end{equation*} \begin{equation*}\label{newSys} \begin{cases} \dot x_1 = x_2,\\ \dot x_2 = -f(x_1, x_2) + u,\\ x_1(t_0) = x_1^0, x_2(t_0) = x_2^0,\\ |u| \leq 1. \end{cases} \end{equation*}

Пусть \(f(0, 0) = 0\) (иначе воспользуемся заменой переменных). Требуется стабилизировать систему: \begin{equation*} \begin{cases} \dot x_1(t_1) = \dot x_2(t_1) = 0,\\ t_1 \rightarrow min. \end{cases} \end{equation*} \begin{equation*} H = \psi_1 x_2 - \psi_2 f(x_1, x_2) + \psi_2 u \end{equation*}

Сопряженная система: \begin{equation*} \begin{cases} \dot \psi_1 = \psi_2 \frac{\partial f(x_1, x_2)}{\partial x_1},\\ \dot \psi_2 = -\psi_1 + \psi_2 \frac{\partial f(x_1, x_2)}{\partial x_2},\\ \end{cases} \end{equation*} Условие максимума: \begin{equation*} u^* = \begin{cases} \sign \psi_2, \psi_2 \neq 0,\\ [-1, 1], \psi_2 = 0.\\ \end{cases} \end{equation*}

Если \(\psi_2 \equiv 0\) на \((\tau_1, \tau_2)\), то \(\dot \psi_2 = - \psi_1 + \psi_2 \frac{\partial f}{\partial x_2}\), но \(\psi_2 \equiv 0, \dot \psi_2 \equiv 0 \Rightarrow \psi_1 \equiv 0 \Rightarrow \psi \equiv 0 ?!\)

Следовательно, особый режим невозможен \(\Rightarrow u^* = \sign \psi_2\).

\begin{equation*} H = \psi_1 x_2 - \psi_2 f(x_1, x_2) + |\psi_2| \equiv const \end{equation*}

Запишем задачу:

\begin{equation*} \begin{cases} \dot x_1 = x_2,\\ \dot x_2 = -f(x_1, x_2) + \sign \psi_2,\\ \dot \psi_1 = \psi_2 \frac{\partial f(x_1, x_2)}{\partial x_1},\\ \dot \psi_2 = -\psi_1 + \psi_2 \frac{\partial f(x_1, x_2)}{\partial x_2}. \end{cases} \end{equation*}

Теорема о чередовании нулей

Формулировка теоремы.
Если \(\tau_1 < \tau_2, [\tau_1, \tau_2] \subseteq [t_0, t_1]\), то:

\begin{equation*} 1) \begin{cases} \psi_2(\tau_1) = \psi_2(\tau_2) = 0,\\ x_2(\tau_1) = 0. \end{cases} \Rightarrow x_2(\tau_2) = 0. \end{equation*}

\begin{equation*} 2) \begin{cases} \psi_2(\tau_1) = \psi_2(\tau_2) = 0,\\ x_2(\tau_1) \neq 0. \end{cases} \Rightarrow x_2(\tau_2) \neq 0, \exists \tau \in (\tau_1, \tau_2) : x_2(\tau) = 0. \end{equation*}

\begin{equation*} 3) \begin{cases} x_2(\tau_1) = x_2(\tau_2) = 0,\\ x_2(t) \neq 0, \forall t \in (\tau_1, \tau_2),\\ \psi_2(\tau_1) = 0. \end{cases} \Rightarrow \psi_2(\tau_2) = 0. \end{equation*}

\begin{equation*} 4) \begin{cases} x_2(\tau_1) = x_2(\tau_2) = 0,\\ x_2(t) \neq 0, \forall t \in (\tau_1, \tau_2),\\ \psi_2(\tau_1) \neq 0. \end{cases} \Rightarrow \psi_2(\tau_2) \neq 0, \exists \tau \in (\tau_1, \tau_2) : \psi_2(\tau) = 0. \end{equation*}

Доказательство.
1) \begin{equation*} H(\tau_1) = \psi_1(\tau_1) x_2(\tau_1) - \psi_2(\tau_1) f + |\psi_2(\tau_1)| = 0, (\psi_2(\tau_1) = 0, x_2(\tau_1) = 0),\\ H(\tau_2) = H(\tau_1) = \psi_1(\tau_2) x_2(\tau_2) - \psi_2(\tau_2) f + |\psi_2(\tau_2)| = 0 \Rightarrow \psi_1(\tau_2) x_2(\tau_2) = 0 \end{equation*}

Если \(\psi_1(\tau_2) = 0 \Rightarrow \psi \equiv 0 ?!\)

Тогда \(x_2(\tau_2) = 0\).

2) \begin{equation} H(\tau_1) = \psi_1(\tau_1) x_2(\tau_1) - \psi_2(\tau_1) f + |\psi_2(\tau_1)| \neq 0, (\psi_2(\tau_1) = 0, x_2(\tau_1) \neq 0, \phi_1(\tau_1) \neq 0),\\ H(\tau_2) = H(\tau_1) = \psi_1(\tau_2) x_2(\tau_2) - \psi_2(\tau_2) f + |\psi_2(\tau_2)| \neq 0 \Rightarrow x_2(\tau_2) \neq 0 \end{equation}

Без ограничения сложности, положим \(\psi_2(t) \neq 0, \forall t \in (\tau_1, \tau_2)\).

Тогда возможны две ситуации, в каждой из которых \(\dot \psi_2(\tau_1) \dot \psi_2(\tau_2) < 0\):

\begin{equation*} \dot \psi_1(\tau_1) = - \psi_1(\tau_1) + \psi_2(\tau_1) \frac{\partial f}{\partial x_2} < 0 (> 0),\\ \dot \psi_2(\tau_2) = - \psi_1(\tau_2) + \psi_2(\tau_2) \frac{\partial f}{\partial x_2} > 0 (< 0),\\ \Rightarrow \psi_2(\tau_1) \psi_2(\tau_2) < 0. \end{equation*}

Из (1)\[\psi_1(\tau_1) x_2(\tau_1) = \psi_1(\tau_2) x_2(\tau_2) \Rightarrow x_2(\tau_1) x_2(\tau_2) < 0\]

Поскольку \(x_2()\) - непрерывная функция, то \(\exists \tau \in (\tau_1, \tau_2) : x_2(\tau) = 0\).

3) Рассмотрим функцию\[z(t) = \psi_1(t) x_2(t) + \psi_2(t) \frac{dx_2(t)}{dt}\] - кусочна-непрерывна\[\dot x_2 = -f(x_1, x_2) + u\].

Разрывы могут быть лишь в моменты переключений.

Пусть \(t_0\) - точка непрерывности. Тогда при \(t \in V_\delta(t_0)\)\[\frac{dz(t)}{dt} = \psi_2 \frac{\partial f}{\partial x_1} x_2 + \psi_1 (-f + u) + (-\psi_1 + \psi_2 \frac{\partial f}{\partial x_2})(-f + u) + \psi_2(- \frac{\partial f}{\partial x_1} x_2 - \frac{\partial f}{\partial x_2} (-f + u)) = 0\]

Следовательно, \(z(t)\) - кусочно-постоянная.

Если же \(t_0\) - момент переключения, то \(\psi_2(t_0) = 0\).

Но тогда и \(z(t_0 - 0) = z(t_0 + 0) \Rightarrow z(t) \equiv const\).

\begin{equation*} z(\tau_1) = \phi_1(\tau_1) x_2(\tau_1) + \phi_2(\tau_1) \dot x_2(\tau_1) = 0,\\ z(\tau_2) = z(\tau_1) = \phi_1(\tau_2) x_2(\tau_2) + \phi_2(\tau_2) \dot x_2(\tau_2) = 0. \end{equation*}

Следовательно, \(\psi_2(\tau_2) = 0\).

4) Аналогично п. 3):

\begin{equation*} z(\tau_1) = \phi_1(\tau_1) x_2(\tau_1) + \phi_2(\tau_1) \dot x_2(\tau_1) \neq 0,\\ z(\tau_2) = z(\tau_1) = \phi_1(\tau_2) x_2(\tau_2) + \phi_2(\tau_2) \dot x_2(\tau_2) \Rightarrow \psi_2(\tau_2) \neq 0. \end{equation*}

\begin{equation*} \dot x_2(\tau_1) \dot x_2(\tau_2) < 0 \Rightarrow \psi_2(\tau_1) \psi_2(\tau_2) < 0 \Rightarrow \exists \tau \in (\tau_1, \tau_2) : \psi_2(\tau) = 0. \end{equation*}

Решение исходной задачи

Рассмотрим исходную задачу: \begin{equation*} \begin{cases} \dot x_1 = x_2,\\ \dot x_2 = -f(x_1, x_2) + u,\\ x_1(t_0) = x_1^0, x_2(t_0) = x_2^0,\\ x_1(t_1) = x_2(t_1) = 0. \end{cases} \end{equation*} \begin{equation*} t_1 - t_0 \rightarrow \min_{u(\cdot)} \end{equation*}

Построим множество разрешимости (будем отталкиваться от $$t_1 = 0$$, так как система автономна): \begin{equation*} W(t, t_1, \theta) = W(t - t_1, 0, \theta) \end{equation*}

Сопряженная система: \begin{equation*} \begin{cases} \dot \psi_1 = \psi_2 \frac{\partial f(x_1, x_2)}{\partial x_1},\\ \dot \psi_2 = -\psi_1 + \psi_2 \frac{\partial f(x_1, x_2)}{\partial x_2},\\ \end{cases} \end{equation*} Условие максимума: \begin{equation*} u^* = \begin{cases} \sign \psi_2, \psi_2 \neq 0,\\ [-1, 1], \psi_2 = 0.\\ \end{cases} \end{equation*}

$$\tau = 0: x_1(0) = x_2(0) = 0 \Rightarrow$$ удобно применить теорему.

a) Пусть $$\psi_2(0) = 0$$. Тогда $$\psi_1(0) \neq 0 \Rightarrow$$ нормируем $$\psi_1(0) = \pm 1$$:

1) $$\psi_1(0) = 1 \Rightarrow \psi_2(\tau) > 0, u(\tau) \equiv 1$$ при $$\tau \in (-\delta, 0)$$. \begin{equation*} (S_+) \begin{cases} \dot x_1 = x_2,\\ \dot x_2 = -f(x_1, x_2) + 1,\\ \dot \psi_1 = \psi_2 \frac{\partial f(x_1, x_2)}{\partial x_1},\\ \dot \psi_2 = -\psi_1 + \psi_2 \frac{\partial f(x_1, x_2)}{\partial x_2}. \end{cases} \end{equation*}

2) $$\psi_1(0) = -1 \Rightarrow \psi_2(\tau) < 0, u(\tau) \equiv -1$$ при $$\tau \in (-\delta, 0)$$. \begin{equation*} (S_-) \begin{cases} \dot x_1 = x_2,\\ \dot x_2 = -f(x_1, x_2) - 1,\\ \dot \psi_1 = \psi_2 \frac{\partial f(x_1, x_2)}{\partial x_1},\\ \dot \psi_2 = -\psi_1 + \psi_2 \frac{\partial f(x_1, x_2)}{\partial x_2}. \end{cases} \end{equation*}

Поскольку $$\psi(0), x(0)$$ определены, то можем интегрировать системы $$(S_+), (S_-)$$ в обратном времени с учетом дальнейших переключений (знаем все о системах).

б) Пусть теперь $$\psi_2(0) \neq 0 \Rightarrow \psi_2(0) > 0, (S_+)$$ или $$\psi_2(0) < 0, (S_-)$$

По теореме о нулях: \begin{equation*} \exists \tau_п < 0: \psi_2(\tau_п) = 0. \end{equation*}

Удобно нормировать вектор $$\psi$$ в момент первого с конца переключения.

С учетом возможных переключений можем построить множеств: \begin{equation*} W_+ = W^0_+ \cup W^1_+ \cup W^2_+ \cdots \\ W_- = W^0_- \cup W^1_- \cup W^2_- \cdots \end{equation*}

Множества могут быть как конечными, так и бесконечными.

$$W_+ \cup W_- -$$ кривая переключений.

Таким образом, можем построить множество разрешимости и решить задачу быстродействия:

1. Из точки (0, 0) выпускаем пробные траектории систем при $$u \equiv 1, u \equiv -1$$. Находим времена первого пересечения с осью абсцисс: $$t_1, t_2$$.
2. По теореме о нулях, $$\exists \tau_1 \in [t_1, 0], \tau_2 \in [t_2, 0]$$, в которых $$\psi_2(\tau) = 0$$ и происходит переключение. Перебираем возможные $$\tau_1, \tau_2$$ по сетке.
3. Нормируем $$\psi(\tau_1) / \psi(\tau_2)$$ и решаем задачу Коши для совместной системы.
4. Получаем $$Г[\tau] = \cup_{\tau_1 \in [t_1, 0]} \{x(\tau, 0, \theta) | u = u^*\} \cup \cup_{\tau_2 \in [t_2, 0]} \{x(\tau, 0, \theta) | u = u^*\}$$. Выделяем $$\partial W(\tau, 0, \theta) \subseteq Г[\tau]$$ (возможны и точки самопересечения, и особые точки).
5. $$\tau_1 < \tau_2 \Rightarrow W[\tau_1] \supset W[\tau_2]$$. Следовательно, можно разбить плоскость на изохроны и выбрать узел, аппроксимирующий точку $$(x^0_1, x^0_2)$$.