Условия непрерывности функции максимума

Введение и определения

В ходе решения задачи быстродействия для нахождения оптимальной траектории используется функция Гамильтона. Траектория этой функции не может иметь разрывы с точки зрения физики и логики, поэтому и функция тоже должна быть непрерывной. Для того, чтобы исследовать условия непрерывности функции максимума, то есть, максимального селектора функции Гамильтона при зафиксированном управлении, нужно использовать многозначный анализ. Введем некоторые необходимые понятия.

Пусть дано многозначное отображение \(\mathcal{P}(\cdot)\). \(u(t)\) — селектор \(\mathcal{P}(\cdot)\), если \(u(t) \in \mathcal{P}(t), \forall t \in [t_0,t_1]\).

Функция Гамильтона - многозначное отображение, а функция максимума — ее селектор, максимизирующий функцию по управлению. Покажем, при каких условиях функция максимума непрерывна.

\(\mathcal{A} \in\) comp \(\mathbb{R}^n\) — непустой компакт в \(\mathbb{R}^n\).

\(\mathcal{A} \in\) conv \(\mathbb{R}^n\) — непустой выпуклый компакт в \(\mathbb{R}^n\).

\(\mathcal{B}_{R}(a)\) — шар радиуса \(R\) с центром в точке \(a\).

\(h_+(\mathcal{Z}_1,\mathcal{Z}_2) = \inf \{\varepsilon \geqslant 0 : \mathcal{Z}_1 \subseteq \mathcal{Z}_2 + \varepsilon \cdot \mathcal{B}_1(0)\}|\) — полуметрика Хаусдорфа.

\(h(\mathcal{Z}_1,\mathcal{Z}_2) = \max \{h_+(\mathcal{Z}_1,\mathcal{Z}_2), h_+(\mathcal{Z}_2,\mathcal{Z}_1)\}\) — метрика Хаусдорфа.

О непрерывности опорной функции

Лемма 1 (О непрерывности опорной функции к многозначному отображению по обеим переменным)

Пусть \(\mathcal{Z}: V \rightarrow\) conv \(\mathbb{R}^l, V \subseteq \mathbb{R}^k\). \(\mathcal{Z}\) непрерывно на \(V\). Следовательно, \(\rho(l|\mathcal{Z}(V))\) непрерывна на \((l,V) \in \mathbb{R}^l \times V\).

Доказательство.

Пусть \((l^0,v^0) \in \mathbb{R}^l \times V\). Покажем, что \(|\rho(l|\mathcal{Z}(v)) - \rho(l^0|\mathcal{Z}(v^0))| < \varepsilon\). \begin{equation} \rho(l|\mathcal{Z}(v)) - \rho(l^0|\mathcal{Z}(v^0)) = \rho(l|\mathcal{Z}(v)) - \rho(l|\mathcal{Z}(v^0)) + \rho(l|\mathcal{Z}(v^0)) - \rho(l^0|\mathcal{Z}(v^0)) \end{equation} 1) \(\rho(l|\mathcal{Z}(v^0))\) выпукла по \(l \Rightarrow\) непрерывна по \(l\) ([3], Теорема 1) \( \Rightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0: \forall l, ||l - l^0|| < \delta \Rightarrow |\rho(l|\mathcal{Z}(v^0)) - \rho(l^0|\mathcal{Z}(v^0))| < \frac{\varepsilon}{2}\).

2) \(\mathcal{Z}\) непрерывно как многозначное отображение \(\Rightarrow \forall \tilde\varepsilon > 0 \exists \tilde\delta(\tilde\varepsilon) > 0: \forall v \in \cup_\delta(v^0) \cap V, h(\mathcal{Z}(v), \mathcal{Z}(v^0)) < \tilde\varepsilon.\)

\begin{equation} h(\mathcal{Z}(v), \mathcal{Z}(v^0)) = \underset{||l|| = 1}{\sup} |\rho(l|\mathcal{Z}(v) - \rho(l|\mathcal{Z}(v^0)|. \end{equation}

Формула (2) верна тогда и только тогда, когда \(\mathcal{Z}\) непрерывна по \(v\), и используя положительную однородность получаем, что это верно тогда и только тогда, когда \(|\rho(l|\mathcal{Z}(v)) - \rho(l|\mathcal{Z}(v^0))| < \tilde\varepsilon||l||, \forall l\).

Можно выбрать \(\tilde\varepsilon\) так, что:

\begin{equation} ||l^0|| - \delta = ||l|| \leqslant ||l^0|| + \delta \Rightarrow \tilde\varepsilon||l|| < \tilde\varepsilon(||l^0||+\delta) < \frac{\varepsilon}{2}. \end{equation}

Из этого следует: \begin{equation} \forall \varepsilon > 0, \exists \delta: ||l - l^0|| < \delta, \end{equation} \begin{equation} \forall \varepsilon > 0, \exists \tilde\delta: v \in \cup_\tilde\delta (v^0) \cap V, \end{equation} Что приводит нас к условию леммы. Лемма доказана.\(\blacksquare\)

Утверждение 1 (Следствие из леммы о непрерывности опорной функции к многозначному отображению по обеим переменным)

Пусть

1) \(V \in \) comp \(\mathbb{R}^n\).

2) Выполнены условия Леммы о непрерывности опорной функции к многозначному отображению по обеим переменным:

• \(\mathcal{Z}: V \rightarrow \) conv \(\mathbb{R}^l, V \subseteq \mathbb{R}^k\)

• \(\mathcal{Z}\) непрерывно на \(V\)

(То есть, по условию Леммы, \(\rho(l|Z(V))\) непрерывна на \((l,V) \in \mathbb{R}^l \times V\)).

Тогда, \(\exists R > 0: \forall v \in V, \mathcal{Z}(v) \subseteq \mathcal{B}_R(0) \subseteq \mathbb{R}^l\).

Доказательство.

Пусть \(R = \max \{0, \underset{(l,v) \in \mathcal{B}_1(0) \times V}{max} \rho(l|\mathcal{Z}(v)\}, R \geqslant 0\).

\begin{equation} \forall l: ||l|| \leqslant 1 \Rightarrow \rho(l, \mathcal{Z}(v)) \leqslant R, \end{equation} \begin{equation} \forall l: ||l|| = 1 \Rightarrow \rho(l, \mathcal{Z}(v)) \leqslant R||l|| ; R||l|| \geqslant 0. \end{equation}

Введем \(p = \alpha l\).

\begin{equation} R||p|| = \rho(p|\mathcal{B}_R(0)) \Rightarrow \rho(p|\mathcal{Z}(v)) \leqslant R||p||, \forall p \Leftrightarrow \mathcal{Z}(v) \subseteq \mathcal{B}_R(0) \end{equation}

Утверждение доказано.\(\blacksquare\)

О непрерывности функции максимума

Лемма 2 (О непрерывности функции максимума)

Пусть

1) \(z: V \rightarrow\) comp \(\mathbb{R}^l, V \subseteq \mathbb{R}^k, z\) непрерывна и равномерно ограничена на \(V\). То есть, \(V \in\) comp \(\mathbb{R}^k\).

2) \(g: V \times \mathbb{R}^l \rightarrow \mathbb{R}, g\) непрерывна по \((v,z) \in V \times \mathbb{R}^l\).

Тогда \(H(v) = \underset{z \in \mathcal{Z} (v)}{\max} \{g(v,z)\}\) - непрерывна на \(V\).

Доказательство.

\(\mathcal{Z}(v) \in \mathcal{B}_R(0) \).

\(g|_{V \times \mathcal{B}_R(0)}\) непрерывна, следовательно, по теореме Кантора, \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta(\varepsilon) > 0\) такие, что \( \forall v', v'' \in V, ||v' - v''||< \delta, \forall z', z'' \in \mathcal{B}_{R}(0), ||z'-z''|| < \delta\) верно: \(|g(v',z')-g(v'',z'')| < \varepsilon \).

Исследуем непрерывность \(H(v)\) при \(v = v^0 \in V\).

\(\mathcal{Z}\) непрерывна на V, следовательно, для данного \(\delta\) существует \(\tilde\delta(\delta(\varepsilon)) > 0\) такая, что \(\forall v \in V_{\tilde\delta}(v^0) \cap V, h(\mathcal{Z}(v), \mathcal{Z}(v^0)) < \delta\). Это верно тогда и только тогда, когда \[ \begin{cases} \mathcal{Z}(v) \subseteq \mathcal{Z}(v^0) + \delta\mathcal{B}_1(0),\\ \mathcal{Z}(v^0) \subseteq \mathcal{Z}(v) + \delta\mathcal{B}_1(0). \end{cases} \]

Выберем любое \(v\), такое, что \(||v - v^0|| < \delta\), и проверим, следует ли из этого \(|H(v)-H(v^0)| < \varepsilon\).

Пусть \(z^{0*} \in \) Argmax \( \{g(v^0,z^0) | z^0 \in \mathcal{Z}(v^0)\}, z^{*} \in\) Argmax \(\{g(v,z) | z \in \mathcal{Z}(v)\}, \) \[ \begin{cases} z^{*} \in \mathcal{Z}(v) \subseteq \mathcal{Z}(v^0) + \delta\mathcal{B}_1(0),\\ z^{0*} \in \mathcal{Z}(v^0) \subseteq \mathcal{Z}(v) + \delta\mathcal{B}_1(0). \end{cases} \]

Из этого следует, что: \[ \begin{cases} \exists z' \in \mathcal{Z}(v^0): ||z^* - z'|| < \delta,\\ \exists z'' \in \mathcal{Z}(v): ||z^{*0} - z'|| < \delta. \end{cases} \]

Тогда: \begin{equation} |H(v) - H(v^0)| = |\underset{z \in \mathcal{Z} (v)}{\max}g(v,z) - \underset{z^0 \in \mathcal{Z} (v^0)}{\max}g(v^0,z^0)| \leqslant |g(v,z^*) - g(v^0, z')| < \varepsilon. \end{equation}

При этом, \begin{equation} |H(v^0) - H(v)| \leqslant |g(v^0,z^{0*}) - g(v, z'')| < \varepsilon. \end{equation}

Следовательно, \(H\) непрерывна. Лемма доказана.\(\blacksquare\)

Список литературы

1) Комаров Ю. Лекции по курсу "Оптимальное управление", 2020/2021.

2) Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. "Математическая теория оптимальных процессов", М.: Наука, 1983.

3) Моисеев А.А. "Лекции по математическому анализу", 2021.