Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство: различия между версиями
Akbar23 (обсуждение | вклад) |
Akbar23 (обсуждение | вклад) |
||
Строка 12: | Строка 12: | ||
Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые. | Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые. | ||
− | + | __TOC__ | |
==Свойства фазовых кривых== | ==Свойства фазовых кривых== | ||
$$\textbf{Свойство 1.}$$ Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые. | $$\textbf{Свойство 1.}$$ Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые. |
Версия 00:39, 20 декабря 2023
Множество всевозможных состояний динамической системы называется $$\textbf{фазовым пространством}$$ этой системы.
Пусть дана динамическая система: \begin{equation} \label{eq:0} \frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^2(U). \end{equation} Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ - фазовое пространство системы \eqref{eq:0}.
Обозначим за $$u = u(t; u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек {t, u(t; u0)} называется $$\textbf{интегральной кривой системы}$$ \eqref{eq:0}, а множество точек {u(t; u0)} называется $$\textbf{фазовой кривой системы}$$ \eqref{eq:0}.
Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.
Содержание
Свойства фазовых кривых
$$\textbf{Свойство 1.}$$ Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.
$$\textbf{Свойство 2.}$$ Если точка $$u^*$$ -- неподвижная точка системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.
$$\textbf{Свойство 3.}$$ Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.
$$\textbf{Свойство 4.}$$ Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка. Цикл - периодическая траектория, не являющаяся положением равновесия, каждая точка которой удовлетворяет условию $$u(t + T_0; u_0) = u(t; u_0)$$ для некоторого $$T_0 > 0$$ и всех $$t \in \mathbb{R}$$.