Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

Пусть дана система автономных дифференциальных уравнений \begin{equation} \label{eq:0} \dot u = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^2(U). \end{equation} Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ называется $$\textbf{фазовым пространством системы}$$ \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t; u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек {t, u(t; u0)} называется $$\textbf{интегральной кривой системы}$$ \eqref{eq:0}, а множество точек {u(t; u0)} называется $$\textbf{фазовой кривой системы}$$ \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.

Свойства фазовых кривых

$$\textbf{Свойство 1.}$$ Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

$$\textbf{Свойство 2.}$$ Если точка $$u^*$$ -- положение равновесия \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

$$\textbf{Свойство 3.}$$ Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

$$\textbf{Свойство 4.}$$ Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.