Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

Множество всевозможных состояний динамической системы называется фазовым пространством этой системы.

Пусть дана динамическая система: \begin{equation} \label{eq:0} \frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^2(U). \end{equation} Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ - фазовое пространство системы \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t; u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек {t, u(t; u0)} называется $$\textbf{интегральной кривой системы}$$ \eqref{eq:0}, а множество точек {u(t; u0)} называется $$\textbf{фазовой кривой системы}$$ \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.

Свойства фазовых кривых

$$\textbf{Свойство 1.}$$ Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

$$\textbf{Свойство 2.}$$ Если точка $$u^*$$ -- неподвижная точка системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

$$\textbf{Свойство 3.}$$ Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

$$\textbf{Свойство 4.}$$ Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Цикл - периодическая траектория, не являющаяся положением равновесия, каждая точка которой удовлетворяет условию $$u(t + T_0; u_0) = u(t; u_0)$$ для некоторого $$T_0 > 0$$ и всех $$t \in \mathbb{R}$$.

Примеры

$$\textbf{Пример 1.}$$

Пример 1. Интегральная кривая в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$ системы из примера 1. На плоскости $$(u_1, u_2)$$ изображена фазовая кривая системы при начальном условии $$u(0) = u_0$$, она является неподвижной точкой (0,0) и циклом, обозначенным как $$\gamma(u_0)$$, указано направление фазового потока.

Рассмотрим следующую динамическую систему \begin{equation} \label{eq:1} \begin{cases} \dot{u}_1 = u_2 ,\\ \dot{u}_2 = -u_1. \end{cases} \end{equation} Общее решение имеет вид $$u_1(t) = C\ \sin(t + \alpha_0), u_2(t) = C\ \cos(t + \alpha_0)$$, где C и $$\alpha_0$$ — постоянные, определяемые начальными условиями. Интегральная кривая представляет собой винтовую линию, намотанную на цилиндр $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$. Фазовые кривые системы \eqref{eq:1} являются окружностями $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в фазовом пространстве $$(u_1, u_2)$$.

$$\textbf{Пример 2.}$$

Пример 2. Интегральные кривые уравнения (3) для различных значений $$N_0$$ в плоскости $$(t, N)$$. На оси N также изображены неподвижные точки (жирные точки) и направления фазового потока.

Рассмотрим одномерную динамическую систему, задаваемую логистическим уравнением \begin{equation} \label{eq:2} \dfrac{dN}{dt} = rN \left( 1 - \dfrac{N}{K} \right). \end{equation} Решение системы при начальном условии $$N=N_0$$ представляется следующим образом: \begin{equation} \label{eq:3} N(t) = \dfrac{N_0 K e^{rt}}{N_0 (e^{rt} - 1) + K} . \end{equation} Фазовое пространство в этом случае одномерно. Стрелками отмечено направление движения фазового потока на оси N. Фазовые траектории системы представляют собой отрезки прямой N, движение по которым происходит в направлении точки с координатой K.

Список литературы

1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.

2. Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.