Фазовый объём. Теорема Лиувилля

Определения

Определение 1.

Пусть рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений: \begin{gather*} \frac{dx_i}{dt}=f_i(\vec{x}),\quad \text{где}\quad \vec{x}\in \mathbb{R}^n\quad \text{и}\quad \vec{f}\in \mathbb{R}^n;\\ \vec{x}(0)=\vec{x}_0\in D_0. \end{gather*} Введём обозначение для множества решений системы в фиксированный момент времени: \begin{gather*} D_t=\left\{\,\vec{x}(\,t\, ;\,\vec{x}_0),\quad \vec{x}_0\in D_0\right\}. \end{gather*} Подсчитаем объём множества $$D_t,$$ воспользовавшись определением кратного интеграла. \begin{gather*} %V_t=\underbrace{\int...\int}_{D_t} dx_1\,dx_2...dx_n. V_t=\int\limits_{D_t} dx_1 dx_2...dx_n.\\ \end{gather*} Это и есть определение фазового объёма $$D_t.$$
Определение 2.

Величина $$\frac{dv_t}{dt}$$ называется изменением фазового объёма.

Вспомогательные леммы

Лемма 1. (Уравнение в вариациях)

\begin{equation} \label{1} \frac{d\vec{x}}{dt}=\vec{f}(\vec{x}),\quad \text{где}\quad \vec{x}\in \mathbb{R}^n\quad \text{и}\quad \vec{f}\in \mathbb{R}^n; \end{equation}

\begin{equation} \label{2} \vec{x}(0)=\vec{y}\in D_0. \end{equation}

Пояснение к лемме